第17讲 二次函数y=a+bx+c的图像-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第17讲 二次函数y=a +bx+c的图像 【学习目标】 二次函数 的图像的研究，需要利用配方法的方式对 进行变形，从而利用 的图像特征研究 的图像特征，继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系． 【基础知识】 一、二次函数 的图像 二次函数 （其中a、m、k是常数，且 ）的图像即抛物线 ，可以通过将抛物线 进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（ 时）或向右（ 时）平移 个单位，再向上（ 时）或向下（ 时）平移 个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线 （其中a、m、k是常数，且 ）的对称轴是经过点（ ，0）且平行于y轴的直线，即直线x = ；抛物线的顶点坐标是（ ，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 二、二次函数 的图像 二次函数 的图像称为抛物线 ，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数 （其中a、b、c是常数，且 ）都可以运用配方法，把它的解析式化为 的形式． 对 配方得： ． 由此可知： 抛物线 （其中a、b、c是常数，且 ）的对称轴是直线 ，顶点坐标是（ ， ）． 当 时，抛物线 开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线 ）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当 时，抛物线 开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线 ）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 【考点剖析】 考点一：二次函数 的图像 例1．说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物 线 通过怎样的平移得到的． 【难度】★ 【答案】抛物线 的开口向上、对称轴为直线 、顶点坐标为 ， 由抛物线 先向左平移一个单位，再向下平移3个单位得到． 【解析】抛物线 （ ）的对称轴是直线 ；抛物线的顶点坐标是 ．抛物线的开口方向由 所取值的符号决定，当 时，开口向上；当 时， 开口向下．二次函数 （ ）的图像可以通过将抛物线 进行 两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（ 时）或向右（ 时）平移 个 单位，再向上（ 时）或向下（ 时）平移 个单位． 【总结】本题考查了二次函数的性质及抛物线的平移，熟记抛物线的性质及掌握平移口诀“上加下减，左加右减”是做题的关键． 例2．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数 表达式为 ，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ） A．10米 B．20米 C．30米 D．60米 【难度】★ 【答案】A． 【解析】抛物线 （ ）的开口方向由 所取值的符号决定， 当 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． ∴抛物线 顶点坐标为 ，∴最大高度为10米． 【总结】本题考查了二次函数的简单应用． 例3．与抛物线 形状相同，开口方向也相同，顶点为（2， ）的抛物线解析式 为_____________． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】设解析式为 ，∵抛物线形状、开口方向相同，∴ ， ∵顶点为（2， ），∴ ， ，∴解析式为 ． 【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法． 例4．在平面直角坐标系中，如果抛物线 不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平 移2个单位，那么在新平面直角坐标系下抛物线的解析式是_____________． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】把 轴向上平移2个单位，抛物线形状不变，顶点为 ， ∴解析式为 ；把 轴向右平移2个单位，抛物线形状不变， 顶点为 ，∴解析式为 ． 【总结】本题考查抛物线的平移，坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移． 例5．已知二次函数 的图像上有A（ ，y1）、B（2，y2）、C（ ， y3）三个点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D． 【解析】二次函数 的对称轴为直线 ，∵ ， ∴到直线 的距离越小的点 就越小，∴ ． 【总结】本题主要考查学生对二次函数图像的理解，做题的关键是掌握抛物线的对称性． 例6．与抛物线 形状相同，顶点为（3， ）的抛物线解析式为_____________． 【难度】★★ 【答案】 、 ． 【解析】设解析式为 ，∵抛物线形状、开口方向与 相同， ∴ ，∵顶点为（3， ），∴ ， ， ∴解析式为 、 ． 【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法，抛物线形状相同，则说明a相等或互为相反数． 例7．已知二次函数 的图像如图所示，则一次函数 的大致图像 可能是（ ） 【难度】★★ 【答案】A． 【解析】由二次函数的图像可知 ， ，∴一次函数 过第一、二、三象限，选A． 【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像． 例8．抛物线 的顶点为C