专题1.8 期末满分计划之大题压轴题集训30道-2020-2021学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）【学科网名师堂】

专题1.8 期末满分计划之大题压轴题集训30道 【人教版】 1．（2020春•江夏区期末）已知正方形ABCD． （1）点P为正方形ABCD外一点，且点P在AB的左侧，∠APB＝45°． ①如图（1），若点P在DA的延长线上时，求证：四边形APBC为平行四边形． ②如图（2），若点P在直线AD和BC之间，以AP，AD为邻边作平行四边形APQD，连接AQ，求∠PAQ的度数． （2）如图（3），点F在正方形ABCD内且满足BC＝CF，连接BF并延长交AD边于点E，过点E作EH⊥AD交CF于点H，若EH＝3，FH＝1，当时，请直接写出HC的长　5　． 【分析】（1）①由正方形的性质得出DP∥BC，∠DAC＝45°，证明PB∥AC即可解决问题； ②如图2中，如图2中，作DT⊥DQ交QC的延长线于T．证明△ADQ≌△CDT（SAS），由全等三角形的性质即可得出答案． （2）如图3中，延长EH交BC于M．设AE＝x，则CF＝BC＝3x．证明四边形EMCD为矩形，则ED＝CM＝2x，∠EMC＝90°，在Rt△MCH中，利用勾股定理解决问题即可得出答案． 【解答】（1）①证明：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DP∥BC，∠DAC＝45°， ∴∠PAC＝135°， ∵∠P＝45°， ∴∠P+∠PAC＝180°， ∴PB∥AC， ∴四边形APBC是平行四边形． ②解：如图2中，作DT⊥DQ交QC的延长线于T． ∵四边形PADQ是平行四边形， ∴DQ∥PA，AD∥PQ，AD＝PQ＝BC， ∵正方形ABCD中，AD∥BC， ∴PQ＝BC，PQ∥BC， ∴四边形PQCB是平行四边形， ∴QC∥PB， ∵∠APB＝45°， ∴∠APB＝∠DQC＝45°， ∵∠QDT＝90°， ∴∠T＝∠DQT＝45°， ∴DQ＝DT， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC＝∠QDT， ∴∠ADC﹣∠QDC＝∠QDT﹣∠QDC， ∴∠ADQ＝∠CDT， 又∵AD＝DC， ∴△ADQ≌△CDT（SAS）， ∴∠AQD＝∠T＝45°， ∵PA∥DQ， ∴∠PAQ＝∠AQD＝45°． （2）解：如图3，延长EH交BC于M．设AE＝x，则CF＝BC＝3x． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC＝CD＝3x，∠D＝∠DCM＝90°， ∵EH⊥AD， ∴四边形EMCD为矩形， ∴ED＝CM＝2x，∠EMC＝90°， ∵EH＝3，FH＝1， ∴HC＝3x﹣1，MH＝3x﹣3， 在Rt△CHM中，∵HC2＝MH2+CM2， ∴（3x﹣1）2＝（3x﹣3）2+（2x）2， 解得，x＝2或x＝1（不合题意舍去）， ∴HC＝5． 故答案为：5． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题． 2．（2020春•黄陂区期末）如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，以DE为边作矩形DEGF，其中GF经过点A，连接AE． （1）如图1，若AE＝AD，求证：AG＝AF； （2）连接BG． ①如图2，若BG＝AG，CE＝1，AF＝2，求AD的长； ②如图3，若AB＝AD，BG＝BE，直接写出的值为　　． 【分析】（1）证明Rt△ADF≌Rt△AEG（HL）可得结论． （2）①如图2中，延长AG交CB的延长线于T．证明EG垂直平分线段AT，推出EA＝ET，设EA＝ET＝x，构建方程求出x即可解决问题． ②如图3中，延长AG交CB的延长线于T．证明BT＝EC＝BE，设BE＝EC＝a，易知AT＝DE＝AEa，设AF＝GT＝x，则AGa﹣x，根据EG2＝AE2﹣AG2＝ET2﹣TG2，构建方程求出x（用x表示）即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形DEGF是矩形， ∴∠G＝∠F＝90°，DF＝EG， ∵AE＝AD， ∴Rt△ADF≌Rt△AEG（HL）， ∴AG＝AF． （2）解：①如图2中，延长AG交CB的延长线于T． ∵DE∥FT， ∴∠T＝∠DEC， ∵∠ABT＝∠C＝90°，AB＝DC， ∴△ABT≌△DCE（AAS）， ∴AT＝DE，BT＝CE＝1， ∵四边形DEGF是矩形， ∴DE＝FG， ∴AT＝FG， ∴AF＝GT＝2， ∵GA＝GB， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵∠GAB+∠T＝90°，∠GBA+∠TBG＝90°， ∴∠T＝∠GBT， ∴GT＝GB＝GA＝2， ∴AB， ∵AG＝GT，EG⊥AT， ∴EA＝ET，设EA＝ET＝x， 在Rt△ABE中，则有x2＝（）2+（x﹣1）2， ∴x＝8，