第16讲 特殊二次函数的图像（二）-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第16讲 特殊二次函数的图像（二） 【学习目标】 特殊二次函数的图像是九年级数学上学期第三章第二节的内容，本讲主要讲解二次函数 和二次函数 的图像及其性质．重点是通过学习抛物线 平移得到二次函数 和二次函数 的方法，掌握二次函数 和二次函数 的直观性质，并体会图形运动的运用．熟练掌握特殊二次函数的图像是学习二次函数 的基础． 【基础知识】 一、二次函数 的图像 一般地，二次函数 的图像是抛物线，称为抛物线 ，它可以通过将抛物线 向上（ 时）或向下（ 时）平移 个单位得到． 抛物线 （其中a、c是常数，且 ）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 二、二次函数 的图像 一般地，二次函数 的图像是抛物线，称为抛物线 ，它可以通过将抛物线 向左（ 时）或向右（ 时）平移 个单位得到． 抛物线 （其中a、m是常数，且 ）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 【考点剖析】 考点一：二次函数 的图像 例1．在同一平面直角坐标系中，画出函数 、 和 的图像． 【难度】★ 【答案】如图： 【解析】略． 【总结】本题考查二次函数的图像及平移． 例2．将函数 、 与函数 的图像进行比较，函数 、 的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【难度】★ 【答案】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【解析】抛物线 （其中 、 是常数，且 ）的对称轴是 轴，即直线 ； 顶点坐标是 ．抛物线的开口方向由 所取值的符号决定，当 时，开 口向上；当 时，开口向下． 【总结】本题考查抛物线的图像和性质． 例3．说出下列函数的图像如何由抛物线 平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） ； （2） ． 【难度】★ 【答案】（1）向上平移两个单位；开口向上，对称轴 轴，顶点坐标 ； （2）向下平移一个单位；开口向上，对称轴 轴，顶点坐标 ． 【解析】二次函数 的图像可以通过将抛物线 向上（ 时）或向下（ 时）平移 个单位得到．抛物线 （其中 、 是常数，且 ）的对称轴是 轴，即直线 ；顶点坐标是 ．抛物线的开口方向由 所取值的符号决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下． 【总结】本题考查抛物线的平移，做题的关键是理解平移口诀“左加右减，上加下减”． 例4．在函数 ； ； 中，图像开口大小按题号顺序表示为（ ） A． > > B． > > C． > > D． > > 【难度】★ 【答案】B． 【解析】抛物线 中， 决定开口大小， 越大，开口越小． 【总结】本题考察抛物线的性质，主要理解开口大小由 决定． 例5．抛物线 ， ， 共有的性质是（ ） A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同 【难度】★ 【答案】B． 【解析】抛物线 开口向上，对称轴是 轴，有最低点，顶点坐标 ； 抛物线 开口向下，对称轴是 轴，有最高点，顶点坐标 ； 抛物线 开口向上，对称轴是 轴，有最高点，顶点坐标 ． 【总结】本题考查抛物线的性质． 例6．已知 ，点（a – 1，y1）、（a，y2）、（a + 1，y3）都在函数 的图像上， 则（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C． 【解析】∵ ，∴ ，∴三点都在抛物线对称轴的左侧， ∵ 在 轴左侧 随 的增大而减小，∴ ． 【总结】本题考查抛物线的性质，知道对称轴的两侧图像的增减性． 例7．将抛物线 的图像绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 _____________． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】抛物线 顶点坐标为 ，绕原点O旋转180°后，旋转后抛物线顶 点为 ，开口方向相反，∴旋转后解析式为 ． 【总结】本题考查了抛物线旋转后解析式的变化，做题的关键是理解旋转前后图像的形状不变，找出旋转后的顶点坐标即可． 例8．如图，已知二次函数 与反比例函数 ，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（ ） 【难度】★★ 【答案】A． 【解析】当 时，抛物线开口向上，顶点为 ，在 轴正半轴上，反比例函数过第二、四象限； 当 时，抛物线开口向下，顶点为 ，在 轴负半轴上，反比例函数过第一、三象限． 【总结】本题考察抛物线和双曲线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的 方法． 例9．若函数