专题06 空间图形的表面积与体积（知识点串讲）- 2020-2021学年高一下学期数学期末考点大串讲（苏教版2019）

专题06 空间图形的表面积与体积（知识点串讲） 知识整合 几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． 例 1 .（江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考）已知正四棱柱中，，，为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则__________． 【答案】 【解析】如图， 正四棱柱中，，， 则正四棱柱的侧面积分别为， 正四棱锥的斜高为， 正四棱锥的侧面积， ， 故答案为：． 变式1、(2020无锡期末） 直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 【答案】 50π 【解析】根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥B1ABC的外接球，也就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，设其半径为R，则2R＝＝，得R＝，故该球的表面积为S＝4πR2＝50π. 变式2、(2018苏中三市、苏北四市三调）．现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为,,则的值为 ▲ ． 【答案】 【解析】设正四棱柱得高为，所以底面边长为，根据体积相等，且高相等，所以正四棱锥的高为，则正棱锥侧面的高为,所以. 【跟踪练习】 1．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm． 则三棱台的斜高为 ；三棱台的侧面积为 ；表面积为 ． 2．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________． 3．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为________． 【答案】：1． cm； cm2； cm2 2．6π 3．100π　 【解析】1．设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高； 过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝， 因O1D1＝×3＝，OD＝×6＝，则DE＝OD－O1D1＝－＝． 在Rt△D1DE中，D1D＝＝ ＝(cm)． 故三棱台斜高为 cm． 设c、c′分别为上、下底的周长，h′为斜高， S侧＝(c＋c′)h′＝(3×3＋3×6)×＝ (cm2)， S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62＝ (cm2)． 故三棱台的侧面积为 cm2，表面积为 cm2． 2．该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π． 3．依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点，因此其半径等于5，其表面积等于4π×25＝100π． 【解题技巧】 (1)直接根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 知识整合 柱、锥、台和球的侧面积和体积（☆☆☆） 面　积 体　积 圆柱 S侧＝cl＝2πrl V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝cl＝πrl V＝Sh 圆台 S侧＝(c＋c′)l＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h　 直棱柱 S侧＝ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(c＋c′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 例 2 （2020届江苏省七市第二次调研考试）如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______. 【答案】 【解析】由题得，，得. 故答案为： 变式1、（江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末）在正三棱柱ABC A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，则三枝锥A1 BB1C1 的体积为______. 【答案】 【解析】因为正三棱柱,则底面,是等边三角形 又因为,则三棱柱各棱长均为2, 则, 故答案为： 变式2、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试）如图正四棱柱的体积为27，点E，F分别为棱上的点（异于端点）且，则四棱锥的体积为___________. 【答案】9 【解析】连接， ∵正四棱柱的体积为27， 点E，F分别为棱上的点（异于端点），且， ， ， ∴四棱锥的体积． 故答案为：9． 【跟踪练习】 1