第五讲 相交线与三线八角同步导学案 2020-2021学年人教版数学七年级下册

第五讲 相交线与三线八角 课程目标 1.理解对顶角、邻补角的概念。 2.掌握对顶角的性质及它的推导过程。 3.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。 4.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。 5.理解“三线八角”中没有公共顶点的角的位置关系，知道什么是同位角、内错角、同旁内角。 课程重点 1.对顶角、邻补角的概念。 2.对顶角的性质及应用。 3.垂线的定义及性质。 4.通过比较、观察、掌握同位角、内错角、同旁内角的特征。 课程难点 1.垂线的画法。 2.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 3.能在复杂图形中正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角。 教学方法建议 1.通过数形结合理解对顶角，邻补角的相关概念。 2.通过图像来认识垂线和三线八角。 一、课堂精讲： （一）邻补角与对顶角 例1.【类型一】 对顶角的识别 下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是(　　) 例2.【类型二】 邻补角的识别 如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是________． 例3.【类型三】 利用对顶角的性质求角的度数 1.如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数. 2.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数． 【随堂演练一】 【B类】 1.判断题 （1）如果两个角有公共顶点和一条公共边,而且这两角互为补角, 那么它们互为邻补角. ( ) （2）两条直线相交,如果它们所成的邻补角相等,那么一对对顶角就互补. ( ) 2..如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是_______,∠COF 的邻补角是________.若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________. (1) (2) 3.如图2,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=________. 4.如图,直线AB、CD相交于点O. (1)若∠AOC+∠BOD=120°,求各角的度数. (2)若∠BOC比∠AOC的2倍多30°,求各角的度数. 5．如图，直线AC，EF相交于点O，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度数． （二）垂线： 例4.【类型一】 垂直的定义 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面结论中， （1）AB与AC互相垂直； （2）AD与AC互相垂直； （3）点C到AB的垂线段是线段AB； （4）点A到BC的距离是线段AD; （5）线段AB的长度是点B到AC的距离； （6）线段AB是点B到AC的距离。 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 例5.【类型二】 利用垂直的定义求角的度数 （1）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝150°，则∠3的度数为(　　) A．30° B．40° C．50° D．60° （2） 如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB， ∠DOF=65°，求∠BOE和∠AOC的度数。 例6.【类型三】 垂直与对顶角、邻补角结合求角的度数 如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数． 例7.【类型四】 垂线的画法 (1)如图①，过点P画AB的垂线； (2)如图②，过点P分别画OA、OB的垂线； (3)如图③，过点A画BC的垂线． 例8.【类型五】垂线的性质(垂线段最短) 如图，是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由． 例9.【类型六】点到直线的距离 如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是(　　) A．线段CA的长 B．线段CD C．线段AD的长 D．线段CD的长 【随堂演练二】 【B类】 1.下面说法中错误的是（ ） A.两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直 B.若两对顶角之和为180°，则两条直线互相垂直 C.两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直 D.两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直 2.如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（ ） A．2个　　　　 B．3个　　　 C．4个　　　 D．1个 3.如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（ ） A．120° B．130° C．135° D．140° 4.点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上任意三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离为（ ） A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm 5.如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（　　） ①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°； ④∠AOC－∠COD＝∠BOC. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 6.过直线上或直线外一点，_________与已知直线垂直． 7.如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）． ①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离; ⑦AD>BD. A．2个 B．4个 C．7个 D．0个 8.如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD， (1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①____________；②____________． (2)如果∠AOD＝40°，则①∠BOC＝_______； ②OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝______度；③求∠BOF的度数． 9.如图，已知∠AOB， OE平分∠AOC， OF平分∠BOC. （1）若∠AOB是直角，∠BOC＝60°，求∠EOF的度数； （2）猜想∠EOF与∠AOB的数量关系； （3）若∠AOB＋∠EOF＝156°，则∠EOF是多少度？ （三）同位角，内错角与同旁内角 例10.【类型一】 在图形中判断同位角，内错角和同旁内角 （1）如下图中，∠1和∠2不是同位角的是(　　) （2）如右上图，以下说法正确的是( ) A．∠1和∠2是内错角 B．∠2和∠3是同位角 C．∠1和∠3是内错角 D．∠2和∠4是同旁内角 （3）看图填空： 　　 (1)∠1和∠3是直线 被直线 所截得的 ； (2)∠1和∠4是直线 被直线 所截得的 ； (3)∠B和∠2是直线 被直线 所截得的 ； (4)∠B和∠4是直线 被直线 所截得的 ． 例11.【类型一】“三线八角”之间的关系 （1）如图所示，若∠1＝∠2，在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中相等的有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 （2）．如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于 ，∠1的内错角等于 ，∠1的同旁内角等于 . 　　 . 【随堂演练三】 【B类】 1.如图所示，∠1与∠2不是同位角的是( ) 2．如图，属于内错角的是( ) A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠4 D．∠3和∠4 3．如图，下列说法错误的是( ) A．∠1和∠3是同位角 B．∠A和∠C是同旁内角 C．∠2和∠3是内错角 D．∠3和∠B是同旁内角　　　 4．∠1与∠2是直线a，b被直线c所截得的同位角，∠1与∠2的大小关系是( ) A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 5．如图，∠ABC与 是同位角；∠ADB与 是内错角； ∠ABC与 是同旁内角． 6．根据图形填空： 　　 (1)若直线ED，BC被直线AB所截，则∠1和 是同位角； (2)若直线ED，BC被直线AF所截，则∠3和 是内错角； (3)∠1和∠3是直线AB，AF被直线 所截构成的 角； (4)∠2和∠4是直线 ， 被直线BC所截构成的 角． 7．根据图形说出下列各对角是什么位置关系？ (1)∠1和∠2；(2)∠1和∠7；(3)∠3和∠4；(4)∠4和∠6；(5)∠5和∠7. 8．如图所示，如果内错角∠1与∠5相等，那么与∠1相等的角还有吗？与∠1互补的角有吗？如果有，请写出来，并说明你的理由． 二、课后巩固练习 【A类】 1.两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是( ). A.1 B.2 C.3或2 D.1或2或3 2.下列结论中，错误的是( ) A．同一个角的两个邻补角是对顶角 B．对顶角相等，相等的两个角也是对顶角 C．对顶角的平分线在一条直线上 D．邻补角的平分线互相垂直 3.如下图，下列说法中错误的是( ) A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠2是同旁内角 C．∠1和∠5是同位角 D．∠5和∠6是内错角 4.如上右图中共有内错角（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 5.如图，直线AB与直线CD相交于O，OE平分∠AOD，∠BOC=∠BOD-30°，则∠COE的度数是（ ） A.110° 　 B.142.5° C.150° D.75° 6.如图所示，图中有( )对同旁内角． A.3对． B.4对． C.5对． D.6对． 7.垂线的一个性质是（ ） A、过一点有一条直线与已知直线垂直 B、过一点只有一条直线与已知直线垂直 C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D、过一点能画一条直线与已知直线垂直 【B类】 8.如图，∠1的同位角是 ，∠2的内错角是 .（只回答标明的角） 9.如图，O为直线AB上一点，∠BOC = 3∠AOC，OC平分∠AOD； ⑴ 求∠AOC的度数； ⑵ 推测OD与AB的位置关系，并说明理由。 10.如图，将长方形纸片折叠后再展开，折痕的夹角是多少？ 11.如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，OF⊥AB于O，∠1=65°，求∠BOE的度数． 【C类】 12.如图，AB、CD、EF相交于O点，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线 ⑴ 若∠AOC∶∠COG = 4∶7，求∠DOF的大小； ⑵ 若∠AOC∶∠DOH = 8∶29，求∠COH的大小。 13.已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB.求证:(1)CD⊥CB;(2)CD平分∠ACE. $