专题2—基本不等式-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题2—基本不等式 考试说明：1、了解基本不等式的证明过程； 2、 会用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题 高频考点：1、利用基本不等式求最大值、最小值问题； 2、以函数应用题为载体，结合新背景考查基本不等式的实际应用。 在高考中本专题一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现在解答题的某一问中，有一定的难度。同学们在学习过程中注意总结题型及其方法。 1、 典例分析 1．（2020•上海）下列不等式恒成立的是 　　 A． B． C． D． 2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是 　　 A． B． C． D． 3．（2015•上海）已知 ， ，若 ，则 　　 A． 有最小值 B． 有最小值 C． 有最大值 D． 有最大值 4．（2015•福建）若直线 过点 ，则 的最小值等于 　　 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2015•湖南）若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 　　 A． B．2 C． D．4 6．（2014•重庆）若 ，则 的最小值是 　　 A． B． C． D． 7．（2013•山东）设正实数 ， ， 满足 ．则当 取得最大值时， 的最大值为 　　 A．0 B．1 C． D．3 8．（2020•天津）已知 ， ，且 ，则 的最小值为　　． 9．（2020•江苏）已知 ，则 的最小值是　　． 10．（2019•天津）设 ， ， ，则 的最小值为　　． 2、 真题集训 1．（2013•福建）若 ，则 的取值范围是 　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 2．（2012•浙江）若正数 ， 满足 ，则 的最小值是 　　 A． B． C．5 D．6 3．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为 和 ，其全程的平均时速为 ，则 　　 A． B． C． D． 4．（2020•山东）（多选）已知 ， ，且 ，则 　　 A． B． C． D． 5．（2019•上海）若 ， ，且 ，则 的最大值为　　． 6． （2018•天津）已知 ， ，且 ，则 的最小值为　　． 7． （2017•天津）若 ， ， ，则 的最小值为　　． 8． （2011•湖南）设 ， ，且 ，则 的最小值为　　． 9． （2014•浙江）已知实数 ， ， 满足 ， ，则 的最大值是　　． 10．（2011•浙江）设 ， 为实数，若 ，则 的最大值是　　． 11．（2011•浙江）若实数 ， 满足 ，则 的最大值是　　． 12． （2011•重庆）若实数 ， ， 满足 ， ，则 的最大值是　　． 典例分析答案 1．（2020•上海）下列不等式恒成立的是 　　 A． B． C． D． 分析：利用 恒成立，可直接得到 成立，通过举反例可排除 ． 解答：解： ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误； ． ， ， ，故 正确； ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误； ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误． 故选： ． 点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题． 2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是 　　 A． B． C． D． 分析：利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项 ，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项 ，利用基本不等式求出最值，即可判断选项 ，利用特殊值验证，即可判断选项 ． 解答：解：对于 ， ， 所以函数的最小值为3，故选项 错误； 对于 ，因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 因为 ，所以等号取不到， 所以 ，故选项 错误； 对于 ，因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项 正确； 对于 ，因为当 时， ， 所以函数的最小值不是4，故选项 错误． 故选： ． 点评：本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题． 3．（2015•上海）已知 ， ，若 ，则 　　 A． 有最小值 B． 有最小值 C． 有最大值 D． 有最大值 分析：根据基本不等式的性质判断即可． 解答：解： ， ，且 ， ， 有最小值， 故选： ． 点评：本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题． 4．（2015•福建）若直线 过点 ，则 的最小值等于 　　 A．2 B．3 C．4 D．5 分析：将 代入直线得： ，从而 ，利用基本不等式求出即可． 解答：解： 直线 过点 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ， 当且仅当 即 时取等号， 最小值是4， 故选： ． 点评：本题考查了基本不等式的性质，求出 ，得到 是解题的关键． 5．（2015•湖南）若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 　　 A． B．2 C． D．4 分析