第13讲 解直角三角形的应用 -【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第13讲 解直角三角形的应用 【学习目标】 解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题． 【基础知识】 一、仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 二、方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 三、坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即 ． 坡度通常写成1 : m的形式，如 ． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 ． 坡度i与坡角 之间的关系： ． 【考点剖析】 考点一：仰角与俯角 例1．如图， ，FB // AC，从A看D的仰角是______；从B看D的俯角是______；从A看B的______角是______；从D看B的______角是______． 【难度】★ 【答案】 ； ；仰； ；仰； ． 【解析】考查仰角、俯角的基本定义． 例2．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该 同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号 的式子表示） 【难度】★ 【答案】 ． 【解析解：如图所示，AB为旗杆，CD为某同学． 则 ， ， ， 在 中， ，∴ ，∴ ， ∴ ． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解． 考点二：方向角 例2．如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（ ） A．北偏东15° B．北偏西75° C．南偏西15° D．南偏东75° 【难度】★ 【答案】B 【解析】考查方向角的定义． 例2．如图，小明从A地沿北偏东30°方向走 米到B地，再从B地向正南方向 走200米到C地，此时小明离A地_____米． 【难度】★ 【答案】100． 【解析】解：由题意可知： 在 中， ， ∴ ，∴ ， ． ∴ ． ∴ ． 【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用． 例3．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【难度】★ 【答案】B 【解析】解：∵ ， ∴ 为等边三角形． ∴ ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题． 考点三：坡度（坡比）、坡角 例1．某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高 ______米． 【难度】★ 【答案】6． 【解析】考查坡度的定义． 例2．某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】考查等腰梯形双高的辅助线． 例3．如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距 离AB为（ ） A．4米 B． 米 C． 米 D． 米 【难度】★ 【答案】C 【解析】考查坡角的定义． 例4．如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米， 槽的深度为12毫米， 的正切值为 ，则它的里口宽BC = ______． 【难度】★★ 【答案】33毫米． 【解析】考查等腰梯形双高的辅助线． 例5．如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8 米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？ 【难度】★★ 【答案】2560． 【解析】 ， ． 【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义． 【过关检测】 一、单选题 1．（2021·上海）修筑一坡度为3︰4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为 ，那么 的正切值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坡度为坡角的正切值，即可判断出正确的选项. 【详解】由题意的：tanα= 故选：C 【点睛】此题考查的是坡度、坡角的关系，坡度=坡角的正切值. 2．（2019·上海九年级单元测试）已知一坡面的坡比为1∶ ，则坡角α为(　 　) A．15° B．20° C．30° D．45° 【答案】C 分析：由斜坡的坡比为 可得tan ，由此结合特殊角的三角函数值即可求得坡角 的度数. 详解：∵斜坡的坡比为 ，坡角为 ， ∴tan ， ∴ . 故选C.点睛：知道：“斜坡的坡比等于坡角的正切函数值”是解答本题的关键. 3．（2021