第12讲 解直角三角形-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第12讲 解直角三角形 【学习目标】 解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形．难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题． 【基础知识】 一：解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在 中，如果 ，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 【考点剖析】 考点一：解直角三角形的基本类型 例1．在 中，已知 ， ，c = 8，求这个直角三角形的其他边和角（ ， ， ， ）． 【难度】★ 【答案】 ， ， ． 【解析】解： ； 在 中， ，则 ，解得： ； 在 中， ，则 ，解得： ． 【总结】已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦． 例2．在 中， ， ，b = 9，解这个直角三角形（ ， ， ， ）． 【难度】★ 【答案】 ， ， ． 【解析】解： ； 在 中， ，则 ，解得： ； 在 中， ，则 ，解得： ． 【总结】已知直角边和一锐角度数时，求直角边时用锐角的正切或余切，求斜边时用锐角的正弦或余弦． 例3．在 中，已知 ，c = 8，a = 6，求这个直角三角形的其他边和角（利用计算器计算）． 【难度】★ 【答案】 ， ， ． 【解析】解： ．在 中， ，则 ． 利用计算器解得： ， ． 【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数． 例4．在 中，已知 ，a = 7，b = 9，解这个直角三角形（利用计算器计算）． 【难度】★ 【答案】 ， ， ． 【解析】解： ， 在 中， ，则 ，利用计算器可得： ， ∴ ． 【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数． SHAPE \* MERGEFORMAT （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 例5． 中， ，AB = 4，AC = ，BC = ______， = ______． 【难度】★ 【答案】 ， ． 【解析】解： ． 在 中， ，则 ， ∴ ． 【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数． 例6．在 中， ，则 = ______． 【难度】★ 【答案】60°． 【解析】解：设 ， ， ， ∵ ，∴ 为直角三角形． 在 中， ，则 ，∴ ． 【总结】当已知直角三角形的三边比为 时，则这个直角三角形中的最小角为30°． 例7． 中， ， ，AC + BC = 2，则AB的长是______． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】解：在 中， ，又 ，则 ． 设 ，则 ， ． ∵AC + BC = 2， ∴ ．解得： ， ∴ ． 【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为 ． 例8．在直角三角形中， ， ，a – b =2，a、b、c是 、 、 所对的边，解这个直角三角形． 【难度】★★ 【答案】 ， ， ， ， ． 【解析】∵在 中， ， ∴ ； 又∵ ， ∴ ， ； 在 中， ，则 ，即 ； ∵a – b =2， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ． 【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为 ． 例9．如图，在 中， ，D是BC中点，DE AB，垂足为E，tan B = ，AE = 7，求DE的长． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】解：在 中， ， 设 ，则 ， ． ∵D是BC中点，∴ ． 在 中， ， 则 ，解得： ． 在 中， ， 则 ， 解得： ．即DE的长为 ． 【总结】当同一个锐角在不同的直角三角形中时，可多次运用此锐角的三角比，得到不同的线段的比值． 考点二：解直角三角形的运用 例1．在 中， ，a、b、c分别是 、 、 的对边，解下列直角三角形： （1） ， ； （2） ， ； 【难度】★ 【答案】（1） ， ， ， ； （2） ， ， ， ． 【解析】解：（1） ． 在 中， ，设 ，则 ； ∵ ，∴ ，∴ ． ∴ ， ， ． （2）∵ ，∴ ， ∴ ，解得： ； 在 中， ，则 ． ∴ ， ． 【总结】利用特殊角30°以及60°的特殊角的锐角三角比的值解直角三角形． 例2．如图，在菱形ABCD中，AE BC于点E，EC = 1，cos B = ，则这个菱形的面积是______． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】解：在 中，cos B = ，设 ，则 ． ∴ ， ∴ ． ∵EC = 1，∴ ，解得： ． ∴ ． 【总结】本题主要考查锐角三角比的直接运用． 例3