第10讲 锐角三角比的意义-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第10讲 锐角三角比的意义 【学习目标】 锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．锐角三角比的概念是以相似三角形为基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备． 【基础知识】 一：正切和余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比 叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比 叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． 二：正弦和余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比 叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比 叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． 三：锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （ 为锐角） 余 切 （ 为锐角） 正 弦 （ 为锐角） 余 弦 （ 为锐角） 【考点剖析】 考点一：正切和余切 例1．如图，在 中， ， 的对边是______， 的邻边是______ 的对边是______， 的邻边是______． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】在直角三角形中，锐角的对边是指该锐角相对的直角边， 邻边是指该锐角相邻的直角边，直角所对的边叫斜边． 【总结】考查学生对“对边、邻边”的概念理解． 例2．如图，在 中， ， ，垂足为点Q． 在 中， 的对边是______， 的邻边是______； 在 中， 的对边是______， 的邻边是______． 在 ____中， 的对边是MP；在 ____中， 的邻边是NQ． 的邻边是______， 的对边是______． 【难度】★ 【答案】（1） ； ；（2） ； ； （3） ． 【解析】图中有3个直角三角形，同一个锐角有可能属于两个直角三角形，注意审题清楚即 可． 【总结】考查“对边、邻边”的基础概念． 例3．如图，在 中， ， ，垂足为点Q． ． ______， ______．（用正切或余切表示） 【难度】★ 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】直角三角形中一个锐角 的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（ ），表示一个角的正切，先判定该锐角属于哪个直角三角形，再找对应的对边和邻边． 【总结】考查学生对锐角的正切的定义及理解． 例4．在 中， ，AC = 4，BC = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】画示意图，很直观的可以确定锐角的对边和邻边，∠A和∠B的正切和余切即可表示． 【总结】考查学生对锐角的正切和余切的理解． 例5．在 中， ，AC = 4，AB = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】画示意图（略），由勾股定理求得 ，再来表示 的正切和余切值． 【总结】求解锐角三角比，要求学生画示意图，明确直角边和斜边，从上一例题和这题可以看出互为余角的两锐角的正切和余切值相等． 例6．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 2，AB = 3，求 和 的值． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】矩形的对角线互相平分且相等，所以 ， ，所以 ，在直角三角形 中， ,因为 互余， 所以 ． 【总结】结合矩形考查锐角的正切和余切，需要对矩形的性质熟练运用． 例7．如图，已知正比例函数 的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求 和 的值． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】过点A作AC垂直于 轴，设 ， 且点A在第一象限，所以 ， 因为 ，所以 ． 【总结】考查锐角的正切和余切，当没有直角三角形时，需要构造直角． 例8．已知，在 中， ，BC = 9，tan A = ．求：（1）AB的长；（2）tan B的值． 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】画示意图（略），在 中，∠C＝90°， ,∵ ， ∴ ．由勾股定理，得 ； ，也可由互余的两个锐角的正切值乘积为1算得． 【总结】考查锐角的正切值的基础运用，学生需要利用已知的三角比来求解相关线段． 考点二：正弦和余弦 例1．如图，在 中， ， ，垂足为点Q． ． ______， ______．（用正弦或余弦表示） 【难度】★ 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】 ，理解了这个定义，再确定 直角三角形，当 互