第9讲 相似三角形的章节复习 -【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第9讲 相似三角形的章节复习 【学习目标】 相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算．重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型。 【知识结构】 【考点剖析】 考点一：选择题 例1．下列图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（ ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【难度】★ 【答案】A 【解析】判定相似有2个条件：对应角相等，且对应边成比例，两个矩形对应角相等，但长 和宽的不一定成比例，两个（等腰三角形）菱形对应边成比例，但对应角又不一定相等，只有③⑥一定相似． 【总结】考查学生对相似几何图形性质的理解，对应角相等和对应边成比例两个条件缺一不可． 例2．若 ，下列各式中正确的个数有（ ） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【难度】★ 【答案】A 【解析】考查比和比例的基本性质，以“内项积等于外项积”检验①不成立，②是对的；比 的基本性质是前项和后项同时乘以（或除以）同一个不为零的数，比值不变，③是不成立的；比例线段的等比性质及合并性质也需要学生理解到位；其中⑥不正确的原因是 ． 【总结】考查比和比例的基本性质． 例3．已知AB//CD，AD、BC相交于点O，下列比例式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 【解析】∵ ∴ ,对应关系要弄清楚． 【总结】考查“平行型”的A字模型． 例4．下列条件中能判定 ∽ 的有（ ） ① ， ， ， ， ， ； ② ， ， ， ， ， ； ③ ， ， ， ， ， ． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【难度】★ 【答案】C 【解析】对应角相等，但对应边不成比例，①不成立；三边对应成比例，可以判定②成立； 两边对应成比例及夹角相等判定③成立． 【总结】考查相似三角形的判定定理． 例5．如图，已知 ，那么添加一个条件后，仍无法判定 ∽ 的是 （ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】B 【解析】已知一组对应角相等，再添加任意一组对应角相等都可以判定相似，添加对应边成比例需要对应角的夹边成比例． 【总结】考查相似三角形判定定理． 例6．如图，已知，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB = 2m，CD = 5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 【解析】相似比等于对应高之比，设P到AB的距离为 ， 列等量关系 ，解得 ． 【总结】考查相似三角形的性质，相似比等于对应高之比． 例7．如图，厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 【解析】相似三角形面积之比是相似比的平方，联结三角形三边中点，将原三角形的面积四等分，所以黑色面积与白色面积之比是 ． 【总结】考查相似三角形的性质． 例8．如图，在 中，向量 ， ， 是（ ） A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．长度相等的向量 D．相等的向量 【难度】★ 【答案】C 【解析】同圆的半径相等，所以 ， ， 的长度是相等的． 【总结】考查向量的方向、长度及相等向量的概念． 例9．若 是任一非零向量， 是单位向量，下列各式中，正确的是（ ） ① ； ② // ； ③ ； ④ ． A．①④ B．③ C．①②③ D．②③ 【难度】★ 【答案】B 【解析】单位向量的长度是单位1，方向是任意的， 是单位向量，但并没有讲是向量 方向上的单位向量，所以②是不对的． 【总结】考查单位向量的概念． 例10．如图，在 中，DE//BC，BC = 6cm， ，那么DE的长为（ ） A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm 【难度】★ 【答案】D 【解析】∵ ，∴ ，∵BC＝6cm，∴DE＝3cm． 【总结】考查相似三角形性质的应用． 例11．已知线段a，b，c，求作线段x，使bx = ac，以下方法中不正确的是（ ） 【难度】★★ 【答案】B 【解析】利用平行线分线段成比例，可以验证A、C、D都成立，B选项不成立的原因是从作图的角度看，不能保证延长线段 与线段 相交成的线段长度一定为所求作 ． 【总结】考查利用比例线段求作第四条线段的作图方法 例12．如图，若P为 的边AB上一点（AB > AC），