专题08 导数的综合应用（解答题）（一轮复习）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（文）》

专题08 导数的综合应用（解答题） 1．已知函数，，． （1）当时，，求的取值范围； （2）证明：当时，． 【试题来源】河南省济源市、平顶山市、许昌市2021届高三三模 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）当时，，即， 即， 设，则， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，则．所以实数的取值范围为； （2）证明：因为，所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 令，则， 易知在单调递增，在单调递减，所以， 又两个等号不同时成立，故当时，． 【名师点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立求参数取值范围问题和证明不等式问题，属中档题，分离参数法是研究不等式恒成立求参数取值范围的主要方法之一，两边分别求最值是证明关于关于指数对数的大小比较的不等式的常用的方法，比较巧妙，注意体会和掌握． 2．设函数，其中为自然对数的底数． （1）求的单调区间； （2）当时，恒成立，求证：． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-013【2021】【高二下】 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1），． ， 时，，函数在上单调递增． 时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）恒成立，． ，由（1）可得的最小值为． ，， 要证明，即证明：即可． 令，，在上单调递减， ，（1）， 因此存在唯一，，使得． 且， 所以函数在处取得最大值， ．因此结论成立． 3．已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【试题来源】河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（四）（5月）文数试题 【答案】（1）单调递减区间为；（2）． 【解析】（1）由题可知． 令，得，从而， 所以的单调递减区间为． （2）由可得， 即当时，恒成立． 设，则． 令，则当时，． 所以当时，单调递增，， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，所以． 【名师点睛】在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为或，转化为求函数的最值求出的范围． 4．已知e是自然对数的底数，函数（，且）． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，函数的极大值为，求a的值． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-007【2021】【高二下】 【答案】（1）增区间为；减区间为 ．（2）． 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间； （2）先求得的极大值，解方程可得的值． 【解析】（1）显然，的定义域为． 对求导得，当时，， 由得或；由得． 所以，的增区间为；减区间为． （2）由（1）知，，令得或2，又，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，在处有极大值，令，得． 5．已知（e为自然对数的底数） （1）求函数的最大值； （2）设，若对任意，总存在．使得，求实数a的取值范围． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-007【2021】【高二下】 【答案】（1）0；（2） 【解析】（1），， 令，解得；令，解得， 在单调递增，在单调递减，； （2）对任意，总存在．使得等价于， 由（1）， 则问题转化为在恒成立，化得， 令，则， 当时，，得，在单调递增， ，则，即， 故的取值范围为 【名师点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，即在恒成立． 6．已知，设函数． （1）若在上无极值点，求m的值； （2）若存在，使得是在上的最值，求m的取值范围． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-002【2021】【高二下】 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求出m的值． （2）求函数的导数，根据在上的最值，建立条件关系即可求m的取值范围． 【解析】（1）由题意可知， 由于在上无极值点，故，解得． （2）由于，故 当或，即或时， 取即满足题意，此时或， 当，即时，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故或， 即或， 从而或，所以或或，此时． （3）当，即时，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故或， 即或， 从而或， 所以或或，此时， 综上所述，m的取值范围为或． 7．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，讨论的零点个数．（参考数据：） 【试题来源】A卷2021年普通高等学校招生全国统一考试抢分密卷数学 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）1． 【解析】（1）因为， 所以， 易知当时，，，在上单调递增． 当时，，，若，则，单调递减，若，则，