期末复习综合检测模拟（二） 2020-2021学年人教A版高一下学期数学期末复习

人教A版高一下册数学期末模拟（二） 一、单选题 1．下列说法正确的是（ ） A．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上” B．若甲组数据的方差是 ，乙组数据的方差是 ，则甲组数据比乙组数据稳定 C．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式 D．一组数据1､2､5､5､5､3､3的中位数和众数都是5 2．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．福建土楼是我国福建省独有特色的大型民居建筑，被联合国科教文组织列人《世界遗产名录》.已知一座圆环形土楼的高为12 ，在太阳光的照射下，其内部形成如图所示的月牙形的阴影.若要求太阳光线与地面所成的角大于等于 时，其圆心 均能照射到阳光，则该土楼的内壁圆环半径至少为（ ） A．12 B． C．24 D． 4．设 为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 5．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为 .若 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ， ，则用“三斜求积术”求得 的面积为（ ） A． B．1 C． D． 6．赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽.“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）的概率是（ ） A． B． C． D． 7．某算法框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则整数 的值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图为我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图： 根据统计图，下列结论正确的是（ ） A．异地快递量逐月递增 B．同城快递量，9月份少于10月份 C．同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同 D．同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同 9．已知函数 的部分图像如下图所示.则能够使得 变成函数 的变换为（ ） A．先横坐标变为原来的 倍，再向左平移 B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C．先向左平移 ，再横坐标变为原来的 倍 D．先向左平移 ，再横坐标变为原来的2倍 10．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 11．在一次试验中，向如图所示的正方形 中随机撒一大把豆子.经过统计，发现落在正方形 中的豆子有 粒，其中有 ( )粒豆子落在阴影区域内，以此估计 的值为（ ） A． B． C． D． 12．在钝角 中， 分别是 的内角 所对的边，点 是 的重心，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 的形状是_______三角形（填“锐角”、“钝角”、“直角”中的一个）． 14．已知事件 ， 互斥，且事件 发生的概率 ，事件 发生的概率 ，则事件 ， 都不发生的概率是___________. 15．非零平面向量 ，满足 ，且 ，则 的最小值为___________． 16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积 ，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为 ，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号） 三、解答题 17． 已知 ，函数 ． （Ⅰ）若 ，求 的单调递增区间； （Ⅱ）若 的最大值是 ，求 的值． 18．已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为120，80，40.现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去某敬老院参加献爱心活动. （1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）设抽出的6名同学分别用 ， ， ， ， ， 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作； （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 为事件“抽取的2名同学不在同一年级”，求事件 发生的概率. 19．已知函数 在一个周期内的图象如图所示. （1）求 的解析式； （2）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，求 在 上的单调递增区间. 20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ． （1）求频率分布直方图中 的值； （2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率； （3）从评分在 的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在 的概率． 21．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台 ，已知射线 ， 为两边夹角为 的公路(长度均超过3千米)，在两条公路 ， 上分别设立游客上下点 ， ，从观景台 到 ， 建造两条观光线路 ， ，测得 千米， 千米. （1）求线段 的长度； （2）若 ，求两条观光线路 与 之和的最大值. 22．已知 ． （1）求 的单调递增区间； （2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围． 参考答案 1．B 【分析】 根据统计量，对各项分析判断即可得解. 【详解】 对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误； 对于B，因为方差越小越稳定，故B正确； 对于C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误； 对于D，数据1､2､5､5､5､3､3按从小到大排列后为1､2､3､3､5､5､5， 则其中位数为3，故D错误， 故选：B. 2．D 【分析】 化简 得 ，再利用诱导公式和二倍角公式化简求解. 【详解】 由 ，得 ，即 ， 所以 ． 故选：D． 【点睛】 方法点睛：三角恒等变换求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 3．D 【分析】 由题意可得 ，从而可求出土楼的内壁圆环半径的范围 【详解】 解：设土楼的内壁圆环半径为 ， 由题意可知， ，解得 . 故选：D 4．D 【分析】 根据平面向量基本定理可知，只有不共线的两个向量才能做基底，即可求解． 【详解】 解：由题意可知， 是不共线的两个向量， 可以判断选项 ， ， 都可以做基底， 选项 ， ，故选项 不能做基底． 故选： ． 5．D 【分析】 由正弦定理得 ，由 得 ，进而可得 的面积. 【详解】 根据正弦定理，由 ，由 得 ， 所以 的面积 . 故选：D. 6．D 【分析】 利用余弦定理求出大等边三角形边长即可得解. 【详解】 依题意，令 ，则 ， ， ， 中，由余弦定理得 ， 所以在大等边三角形中随机取点，此点取自三个全等三角形(阴影部分)的概率 . 故选：D 7．A 【分析】 根据程序框图，逐步只需，直到能输出 为止，即可判断 的值. 【详解】 执行框图如下： 初始值 ， ，此时 ，需要执行循环体， 计算 ， ，需要继续执行循环体； 计算 ， ，需要继续执行循环体； 计算 ， ，需要继续执行循环体； 计算 ， ，需要继续执行循环体； 计算 ， ，需要继续执行循环体； 计算 ， ，此时需要输出 ； 因此 ， 故选：A. 8．D 【分析】 对于A，由异地快递量6，7月份的快递量可以判断；对于B由同城快递量，9、10月份快递量可以判断，根据折线图和柱状图中的信息可判断C,D. 【详解】 对于A，异地快递量6月份为613 818.6万件，大于7月份的572 812.9万件，所以错误； 对于B，同城快递量9月份为113 215.1万件，多于10月份的97 454.2万件，所以错误; 对于C，由题图可以看出，同城的月快递量达到峰值为6月份， 异地的月快递量达到峰值为10月份，所以错误; 对于D.由题图可以看出，同城快递量的月増长率达到最大的为3月份， 异地快递量的月增长率达到最大的为3月份，所以正确 故选:D 9．C 【分析】 先根据给定图象求出函数 的解析式，再求出由 到 的变换即得. 【详解】 观察图象知A=2， 周期为T，则 ，即 ， ， 又 ，即 ，而 ，则 ， 所以 ， 把 图象向左平移 得 图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的 倍即得 . 故选：C 10．B 【分析】 由已知求出正余弦的值，再结合二倍角公式求解即可． 【详解】 ，所以 ， 或 ， 所以1-2sin2a+ ， 故选：B 11．A 【分析】 根据题意,计算阴影部分的面积为 ,进而根据几何概型求解即可得答案. 【详解】 设正方形 的边长为2，则正方形 的面积等于4. 因为阴影部分的面积等于 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 . 故选:A. 【点睛】 本题考查几何概型面积型问题，解题的关键在于求解阴影部分的面积，进而根据面积比即可得答案，考查运算求解能力，是基础题. 12．C 【分析】 延长 交 于 ，由重心性质和直角三角形特点可求得 ，由 ，利用余弦定理可构造等量关系得到 ，由此确定 为锐角，则可假设 为钝角，得到 ， ， ，由此可构造不等式组求得 的取值范围，在 利用余弦定理可得 ，利用 的范围，结合 为锐角可求得 的取值范围. 【详解】 延长 交 于 ，如下图所示： 为 的重心， 为 中点且 ， ， ， ； 在 中， ； 在 中， ； ， ， 即 ，整理可得： ， 为锐角； 设 为钝角，则 ， ， ， ， ，解得： ， ， ， 由余弦定理得： ， 又 为锐角， ，即 的取值范围为 . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，解题关键是能够由两角互补得到余弦值互为相反数，由余弦定理得到 ，确定 为锐角，从而得到三边之间的不等关系，求得 的范围. 13．钝角 【分析】 根据大边对大角，余弦定理的推论即可解出． 【详解】 设 ，则 ，显然 ，根据大边对大角， 因为 ，所以角 为钝角， 故 的形状是钝角三角形． 故答案为：钝角． 14． 【分析】 求出事件A，B至少发生一个的概率即可得解. 【详解】 因事件A， 互斥，且 ， ， 则事件A，B至少发生的事件为A+B，其概率为 ， 事件 ， 都不发生的事件是A+B的对立事件，则其概率为 . 所以事件 ， 都不发生的概率是 . 故答案为： 15． 【分析】 根据已知条件先求解出 的夹角，然后作出图示，利用图示分析 的最小值. 【详解】 因为 ， ，设 的夹角为 ， 所以 ， 当 时， 成立，此时 ， 当 时，则 ，所以 的夹角为 ， 如下图， 的终点在射线 上， 所以 综上可知： ， 故答案为： . 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键在于利用数量积的定义求解出 的夹角，利用向量的减法运算作出图示，根据图形进行直观分析并求解. 16． 【分析】 如下图所示，在 中，求出半径 ，即可求出结论. 【详解】 设弧田的圆心为 ，弦为 ， 为 中点，连 交弧为 ， 则 ，所以矢长为 ， 在 中， ， ， 所以 ， 所以 所以弧田的面积为 . 故答案为： . 【点睛】 本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，考查运算求解能力，是基础题.解题的关键就是认真审题，计算出“矢”和“弦”.. 17．（Ⅰ） , ;（Ⅱ） . 【详解】 （Ⅰ）由 ，可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为 ，再根据余弦函数 的单调递增区间 ，求出函数 的单调递增区间；（Ⅱ）利用两角和余弦公式、二倍角公式整理得 ，由函数最大值为 ，且对于 型函数的最大值为 ，又 ，从而问题可得解. 试题解析：（Ⅰ）由题意 由 ，得 ． 所以单调 的单调递增区间为 ， . （Ⅱ）由题意 ，由于函数 的最大值为 ，即 ， 从而 ，又 ， 故 ． 18．（1）从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人；（2）（i）答案见解析；（ii） . 【分析】 （1）根据分层抽样定义，直接按比例抽取即可得解； （2）（i）分别列出从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果即可； （ii）由（i）可得抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的结果，由概率公式即可得解. 【详解】 （1）由已知，甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶1， 由于采用分层抽样的方法从中抽取6名同学， 因此应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人. （2）（i）从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15种. （ii）由（i），不妨设抽出的6名同学中，来自甲年级的是 ， ， ，来自乙年级的是 ， ，来自丙年级的是 ，则从抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为 ， ， ， ，共4种. 所以，事件 发生的概率为 . 19．（1） ；（2） 、 . 【分析】 （1）由图象可得出函数 的最小正周期 的值，可求出 ，再将点 代入函数解析式，结合 的取值范围可求得 的值，由 可求得 的值，综合可得出函数 的解析式； （2）利用函数图象变换求得 ，求出函数 在 上的单调递增区间，再与定义域取交集可得结果. 【详解】 （1）由图可得函数 的最小正周期为 ， 所以， ， ，则 ， ，则 ， ，则 ，所以， ， 因为 ，所以， ，所以， ； （2）由题意可得 ， 令 ， ，得 ， ， 记 ，则 . 因此，函数 在 上的增区间是 、 . 【点睛】 方法点睛：根据三角函数 或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求 、 ， ； （2）求出函数的最小正周期 ，进而得出 ； （3）取特殊点代入函数可求得 的值. 20．（1） ；（2） ；（3） ． 【分析】 （1）可根据频率分布直方图得出结果； （2）可通过后三组的频率之和得出结果； （3）本题首先可令5名受访职工依次为 、 、 、 、 ，然后列出随机抽取2人的所有可能情况以及抽取2人的评分都在 的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果. 【详解】 （1） ，解得 . （2）由频率分布直方图易知： 50名受访学生评分不低于70的频率为 ， 故该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为 . （3）受访学生评分在 的有 人，依次为 、 、 ， 受访学生评分在 的有 人，依次为 、 ， 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ， 因为所抽取2人的评分都在 的结果有3种，依次为 、 、 ， 所以此2人评分都在 的概率 . 21．（1）3千米；（2）最大值为6千米． 【分析】 （1） ， ． 用余弦定理，即可求出 ； （2）设 ， ，用正弦定理求出 ， ， 展开，结合辅助角公式可化为 ，由 的取值范围，即可求解． 【详解】 解：（1）在 中，由余弦定理得， ， ， 所以线段 的长度为3千米； （2）设 ，因为 ，所以 ， 在 中，由正弦定理得， . 所以 ， ， 因此 ， 因为 ，所以 . 所以当 ，即 时， 取到最大值6. 所以两条观光线路 与 之和的最大值为6千米． 【点睛】 解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 22．（1） （ ）；（2） ． 【分析】 （1）根据两角和正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得 ，令 ，即可求得 的单调递增区间. （2）根据（1）化简可得 ，则原题等价于 ， 即可，利用二倍角公式，对 化简变形，结合对勾函数的性质，即可求得答案. 【详解】 （1）化简得 = = ， 令 ，解得 所以单调递增区间为 ， . （2）由（1）可得 ， 即 ，对任意的 恒成立， 只需要 即可， EMBED Equation.DSMT4 ， 令 ，因为 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 由对勾函数性质可得，当 时， 为减函数， 所以当 时， ， 所以 ． 【点睛】 解题的关键是熟练掌握恒等变换各个公式，并灵活应用，齐次式问题，需上下同除 ，得到关于 的方程，再结合对勾函数的性质，求解即可，综合性较强，属中档题. 试卷第1 = 1 页，总3 = 3 页 $