期末复习综合检测模拟（一） 2020-2021学年人教A版高一下学期数学期末复习

人教A版高一下册数学期末模拟（一） 一、单选题 1．将函数 的图像向左平移 个最小正周期后，所得图像对应的函数为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量 ， ，则 （ ） A． B．2 C． D．5 3．执行程序框图如图，为使输出S的值等于91，则输入的正整数N的最小值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则锐角 的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图为某市2021年5月21-27日空气质量指数(AQI)柱形图，己知空气质量指数为0-50空气质量属于优，51-100空气质量属于良好，大于100均属不同程度的污染．在这一周内，下列结论中正确的是（ ） A．空气质量优良的频率为 B．空气质量不是良好的天数为6 C．这周的平均空气质量为良好 D．前三天AQI的方差大于后四天AQI的方差 6．平面直角坐标系 中， 为第四象限角，角 的终边与单位圆 交于 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 7．设函数 ，则下列结论错误的是（ ） A． 的最大值为 B． 的一个零点为 C． 的最小正周期为 D． 的图象关于直线 对称 8．若向量 =(1，0)，| |=2， ·( + )=2，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 9．如图，已知六个直角边长均为1和 的直角三角形围成两个正六边形，若向该图形内随机投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率为（ ） A． B． C． D． 10．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、 猜想等，其描述为：任一正整数 ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6，7，8，9中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 11．在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．己知点 ，点 ，则 的最大值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 二、填空题 13．已知向量 ，若 和 共线，则实数 ___________． 14．函数 的部分图象如图所示，则f（x）＝_____． 15．下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图． 说明：（1）在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较． （2）同比增长率 环比增长率 ． 给出下列四个结论： ①2020年11月居民消费价格低于2019年同期； ②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长； ③2020年3月的消费价格低于2020年4月的消费价格； ④2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格． 其中所正确结论的序号是____________． 16．已知函数 ，( ， )的最大值为 ，若 在区间 上的取值范围是 ，则实数 的取值范围是___________. 三、解答题 17．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费 元；重量超过 的包裹，除 收费 元之外，超过 的部分，每超出 (不足 ，按 计算)需再收 元.该公司将最近承揽的 件包裹的重量统计如表： 包裹重量（单位： ） 包裹件数 公司对近 天，每天揽件数量统计如表： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 天数 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率. （ ）计算该公司未来 天揽件数在 之间的概率； （ ）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； ②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员 人，每人每天揽件不会超过 件，且日工资为 元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利? 18．在等腰梯形ABCD中，已知 ，M是DC的中点， ． （1）若 ，求 的值； （2）连接BD交AM于点E，若 ，求 的值． 19．已知函数 （1）求函数 的单调减区间； （2）求当 时函数 的最大值和最小值． 20．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照 , 分组，绘制成评分频率分布直方图如图： （Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率； （Ⅱ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，从B地区抽取的100名用户随机选取两台，求这三名用户中至少有两名用户的评分不低于80分的概率； （Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为 ，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为 ，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为 ，试比较 和 的大小．（结论不要求证明） 21．设函数 （1）当 时，求 的值域； （2）若函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，且存在 ，使 ，求 的值． 22．已知 中，角 所对的边分别为 边上的高为 （1）若 ，求 的值； （2）求 的最值 参考答案 1．A 【分析】 由题意知：图象向左平移 个单位，即可写出平移后的解析式. 【详解】 由题意知：图象平移 个单位， ∴ . 故选：A 2．A 【分析】 利用平面向量的坐标运算求得 ，进而求模. 【详解】 , 故选：A. 3．C 【分析】 根据题意，执行循环，程序需在t=4时，S=91，跳出循环，即N=3为满足条件的最小值，即可得答案. 【详解】 程序运行过程如下表所示∶. S M t 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 -10 2 第2次循环结束 90 1 3 第3次循环结束 91 4 此时S=91首次满足条件，程序需在t=4时跳出循环，即N=3为满足条件的最小值， 故选：C. 4．B 【分析】 通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦可得 ，结合 即可得结果. 【详解】 由正弦定理得 ， 所以 ， 即 ， 由 ，得 ，又 为锐角，所以 . 故选：B. 5．B 【分析】 由柱形图结合题意分析优、良、污染的日期和天数，直接计算可判定A、B;根据平均值和方差的意义可判定C、D. 【详解】 柱形图分析可知，24，25日两天的空气质量为优，21日的空气质量为良好，其余4天的空气质量均属不同程度污染，故空气质量优良的频率为 ,空气质量不是良好的天数为6天，故A错误，B正确； 由于7天中有4天天气质量属污染级别，并且还相对污染程度较高，故这周的平均空气质量应属污染级别，故C错误， 前面三天的空气质量指数波动明显不如后四天的波动幅度达，故前三天AQI的方差小于后四天AQI的方差，故D错误. 故选:B. 6．B 【分析】 根据三角函数的定义，得到 ，再根据二倍角公式，以及诱导公式，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】 根据三角函数的定义可得， ， ， 又 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B. 7．B 【分析】 利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定. 【详解】 ，所以 的最小正周期为 ， 的最大值为 ，C，A正确；当 时， ，所以 的图象关于直线 对称，D正确；因为 ，所以 不是函数 的零点，B错误， 故选：B. 8．C 【分析】 先求出 ，直接利用夹角公式求夹角. 【详解】 由已知可得 ，得 ，设向量 与 的夹角为θ， 则 ， 因为 ，所以向量 与 的夹角为 . 故选：C. 【点睛】 （1）求向量夹角通常用夹角公式； （2）要注意夹角的范围： . 9．A 【分析】 分别求出两个正六边形的面积，利用几何概型求概率. 【详解】 由题意可得，外面的正六边形的面积为 ， 内部的小正六边形的面积为 ， 所以所求概率为 . 故选：A. 【点睛】 （1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型； （2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比. 10．D 【分析】 由题设的运算方法，分别确定6，7，8，9四个数的运算次数，应用古典概型的概率求法求任取2个数至少有1个数的运算次数为奇数的概率即可. 【详解】 1、正整数6的运算过程为6→3→10→5→16→8→4→2→1，运算次数为8； 2、正整数7的部分运算过程为7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10，当此运算次数为10，结合正整数6的运算过程知：正整数7总的运算次数为 ； 3、正整数8的运算次数为3； 4、正整数9的部分运算过程为9→28→14→7，当此运算次数为3，结合正整数7的运算过程知：正整数9总的运算次数为 . ∴6，7，8，9的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数，从6，7，8，9中任取2个数，所有的情况有 种，其中至少有1个数的运算次数为奇数的情况有 种，故所求概率 ， 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：依照题设运算规则分别求出6，7，8，9的运算次数，结合分类分步计数求任取2个数至少有1个数的运算次数为奇数的情况种数，应用古典概型的概率求法求概率. 11．C 【分析】 先根据正弦定理进行边化角，然后结合两角和的正弦公式求解出 的关系，再根据正弦定理化简 为角的形式，结合基本不等式求解出最大值. 【详解】 ， ， ， 又 ，且 不同为零，所以 均不为零， ，即 均为锐角且 ， 取等号时 ，且 即 ， 故选：C. 【点睛】 易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项： （1）注意隐含条件“ ”的使用； （2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为 . 12．A 【分析】 先分别设出 ， ，再运用向量的数量积再分析最大值即可. 【详解】 设 ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， ， 所以要使 最大， ， 所以 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键一是将点坐标化，二是分析到 时有最大值，然后再用辅助角公式. 13． 【分析】 由向量共线，结合向量共线的坐标表示可得 ，即可求参数t. 【详解】 由 和 共线，知： ，解得 ， 故答案为： 14． 【分析】 由函数的图象顶点的纵坐标求出 ，根据半个周期 ，求出 ，然后再根据 求出 值． 【详解】 解：根据图象顶点的纵坐标可得 ， ， ，故函数为 ， 由五点法作图可得 ， ，故 . 故答案为： EMBED Equation.DSMT4 ． 15．①④ 【分析】 根据国居民消费价格涨跌幅折线图，结合题中说明和计算公式逐一判断即可. 【详解】 ①：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：同比增长率为 ，由题中说明所给同比增长率定义可知：2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故本结论正确； ②：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：2020年3月至6月环比增长率为负值，由题中所给的环比增长率定义可知：2020年3月至6月居民的消费价格持续下降，所以本结论不正确； ③：设2020年3月的消费价格为 ，2020年4月的消费价格为 ， 根据题中所给的环比增长率公式可得： ， 所以 ，因此本结论不正确； ④：设2020年5月的消费价格为 ，2020年6月的消费价格为 ，2020年7月的消费价格为 ， 根据题中所给的环比增长率公式可得： ， ， ，所以 ，因此本结论正确； 故答案为：①④ 【点睛】 关键点睛：理解同比增长率、环比增长率的定义，运用同比增长率、环比增长率的公式进行解题是关键. 16． 【分析】 由函数的最大值求得参数 ，把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得 范围． 【详解】 由题意 ，因为 ，故解得 ， ， 在区间 上的取值范围是 ，即 在区间 上的取值范围是 ， ， 时， ，所以 ，解得 ． 故答案为： ． 【点睛】 方法点睛：本题考查三角函数的最值与取值范围．解题关键是函数 的最大值是 ，最小值是 ，如果 在某个区间 上，则把函数式化为 形式，求得 的范围，然后由正弦函数性质求得最值． 17．（1） ；（2）① 元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为 元，不利. 【分析】 （1）由频率估计概率即可； （2）①利用平均数公式直接求解即可；②根据题意及（ ）（ ），揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加 （元），然后分别求出裁员前后公司每日利润的数学期望比较即可 【详解】 （ ）样本包裹件数在 之间的天数为 ，频率 ， 显然未来 天中，包裹件数在 之间的概率为 （ ）（ ）样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位： ） 快递费（单位：元） 包裹件数 故样本中每件快递收取的费用的平均值为 （元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 元 （ ）根据题意及（ ）（ ），揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加 （元）， 将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范围 包裹件数近似 天数 频率 若不裁员，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数近似 实际揽件数 频率 EMBED Equation.DSMT4 故公司平均每日利润的期望值为 （元）； 若裁员 人，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数近似 实际揽件数 频率 EMBED Equation.DSMT4 故公司平均每日利润的期望值为 （元） 因 ，故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利. 18．（1） ；（2） . 【分析】 （1）用 表示出 ，然后可建立方程组求解答案； （2）以点 为原点如图建立直角坐标系，然后求出直线 和直线 的方程，然后求出点 的坐标，然后求出 的坐标即可. 【详解】 （1）因为 所以 ，解得 ，所以 （2）以点 为原点如图建立直角坐标系 则有 所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 联立 可得点 所以 ， ， 19．（1） ；（2） . 【分析】 （1）将 化为 ，然后解出不等式 即可； （2）当 时， ，然后可求出答案. 【详解】 （1） EMBED Equation.DSMT4 令 ，可得 所以函数 的单调减区间为 （2）当 时， ， 所以 即 20．（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）0.308；（Ⅲ） 【分析】 （Ⅰ）利用频率分布直方图计算评分不低于60分的频率，用频率估计概率即可； （Ⅱ）先求出A地区随机选取一名，评分不低于80分的概率和B地区随机选取一名，评分不低于80分的概率，再分别求出这三名用户中恰有两名用户的评分不低于80分的概率和 这三名用户的评分都不低于80分的概率，即可求出； （Ⅲ）利用频率分布直方图分别计算平均值 和 ，再利用加权平均计算 ，比较即可. 【详解】 （Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，这名用户对该公司产品的评分不低于60分的频率为 ， 利用频率估计概率可得这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率为0.6； （Ⅱ）由频率分布图可得A地区随机选取一名，评分不低于80分的概率为 ， B地区随机选取一名，评分不低于80分的概率为 ， 这三名用户中恰有两名用户的评分不低于80分的概率为 ， 这三名用户的评分都不低于80分的概率为 ， 则这三名用户中至少有两名用户的评分不低于80分的概率 ； （Ⅲ）由A地区用户满意程度评分频率分布直方图可知， ， 由B地区用户满意程度评分频率分布直方图可知， ， 则 ， 又A地区与B地区抽取用户人数比值为 ，故A地区抽取用户人数占总数的 ，B地区抽取用户人数占总数的 ， 故A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值 ， 故 . 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是正确利用频率分布直方图对数据进行估计，知道如何用频率估计概率，知道平均数的求解. 21．（1） ；（2） ． 【分析】 （1）化简函数解析式，利用正弦型函数的图象与性质求值域； （2）根据图象变换求出 ，利用同角三角函数的基本关系，角的变换、和差的余弦公式求解. 【详解】 （1） 的值域为 （2） 又 ， EMBED Equation.DSMT4 22．（1） ；（2）最小值为2，最大值为 【分析】 （1）由 可得 ，利用面积公式可得 ，再利用正弦定理化边为角即可求解； （2）可得 ，结合余弦定理得出 ，则可得 ，再利用正弦函数的性质结合基本不等式可求. 【详解】 （1）依题意， ，而 ，解得 ， 则 ， 在ABC中，由正弦定理，得 . 故 ； （2）由（1）的 可知 . 由余弦定理，得 ， 则 ， 当 时， 取得最大值 ， 当且仅当 等号成立， 故最小值为2，最大值为 . 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是利用面积关系得出 . 试卷第1 = 1 页，总3 = 3 页 $