第7讲 相似三角形综合-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第7讲 相似三角形综合 【学习目标】 相似三角形是初中数学中的重点，也是难点．相当多的知识点可以与相似三角形综合起来考察．本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用，旨在灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题． 【基础知识】 1、平行线与相似三角形 利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“X”字型． 2、角平分线与相似三角形 角平分线类的相似模型如下： 分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法． 3、a2 = b·c与相似三角形 常见及扩展模型如下： 由图1可证： ； 由图2可证： ， ， ． 4、内接矩形与相似三角形 相关模型： 常用结论： ． 5、一线三等角与相似三角形 相关模型如下图所示： 【考点剖析】 考点一：平行线与相似三角形 例1．过 的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E． 求证： ． 【难度】★★ 【解析】过点 作 交 于点 ． EMBED Equation.DSMT4 　 EMBED Equation.DSMT4 ， ； EMBED Equation.DSMT4 是中线，　 EMBED Equation.DSMT4 ，　 EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 ． 【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型． 例2． 如图，已知 中，AD、BE相交于G， ， ．求 的值． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】点 作 交 于点 ． EMBED Equation.DSMT4 　 EMBED Equation.DSMT4 ， ； EMBED Equation.DSMT4 ，　 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 的值为 ． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型． 例3．如图，在 中，点D在线段BC上， ， ，AD = 2， BD = 2DC，求AC的长． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】过点 作 交 于点 ． EMBED Equation.DSMT4 ，　 EMBED Equation.DSMT4 ； 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ．　 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． EMBED Equation.DSMT4 ． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识． 考点二：角平分线与相似三角形 例1．如图，AD是 的内角平分线．求证： ． 【难度】★★ 【解析】过点 作 交 的延长线于点 ． EMBED Equation.DSMT4 　 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 是角平分线 EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识． 例2．如图，在 中， ， 过点C作CE // AB，交 的平 分线AD于E． （1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明； （2）求证： ． 【难度】★★ 【解析】 （1）① 、② ． 证明①： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 证明②： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 （2）由 得 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识． 考点三：a2 = b·