第5讲 相似三角形的判定（二）-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第5讲 相似三角形的判定（二） 【学习目标】 相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合． 【基础知识】 一：相似三角形判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在 与 中，如果 ，那么 ∽ ． 二：直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在 和 中，如果 ， ，那么 ∽ ． 三：相似三角形的判定综合 1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似． 2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似． 4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 【考点剖析】 考点一：相似三角形判定定理3 例1．根据下列条件判定 与 是否相似，如果是，那么用符号表示出来． （1） ， ， ， ， ， （2） ， ， ， ， ， ． 【难度】★ 【答案】（1）相似， ．（2）相似， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时注意表示相似时对应点的位置． 例2．如图，在边长为1个单位的方格纸上，有 与 ．求证： ∽ ． 【难度】★ 【解析】由图知： ， ， ， ， ， ． EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3． 例3．如图，D、E、F分别是 的边BC、CA、AB的中点．求证： ∽ ． 【难度】★ 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 、 、 分别是边 、 、 的中点， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ∽ ． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和三角形中位线的性质． 例4． 的边长分别为a、b、c， 的边长分别为 、 、 ，则 与 （选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似． 【难度】★★ 【答案】不一定． 【解析】若 时，相似；若a、b、c中有两个不等，那么它们就不相似． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想． 例5．如图，点D为 内一点，点E为 外一点，且满足 ． 求证： ∽ ． 【难度】★★ 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ． EMBED Equation.DSMT4 ． EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∽ ． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识． 例6．如图，在 中， ， ， ， ， ． 求证： ∽ ． 【难度】★★ 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． EMBED Equation.DSMT4 ， 在 中， ． EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ∽ ． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识． 例7．已知：如图，在 中， ， ， ，点D 在BC边上， 且 ． （1）求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证： ∽ ． 【难度】★★ 【解析】（1） EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ． EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 在 中， ． （2） 点 分别是AD、AB的中点， EMBED Equation.DSMT4 ． 在 、 中， ， ． EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ∽ ． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识． 考点二：直角三角形相似的判定定理 例1．在 和 中， ．依据下列各组条件判定这两个三角形 是