第4讲 相似三角形的判定（一）-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第4讲 相似三角形的判定（一） 【学习目标】 相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合． 【基础知识】 一：相似三角形判定定理1 1、相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图， 是 的中位线，那么在 与 中， ， ， ； ．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作 EMBED Equation.DSMT4 ，其中点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点；符号“ ”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“ ”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线 与 的两边 、 所在直线分别交于点 和点 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ． 3、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在 与 中，如果 、 ，那么 ． 常见模型如下： 二：相似三角形判定定理2 1、相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在 与 中， ， ，那么 ． 【考点剖析】 考点一：相似三角形判定定理1 例1．根据下列条件判定 与 是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号 表示出来． （1） ， ， ； （2） ， ， ， ． 【难度】★ 【答案】（1）相似， EMBED Equation.DSMT4 ；（2）相似， EMBED Equation.DSMT4 ． 【解析】（1）根据三角形内角和 ，可得 ，又 ，根据相似 三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）根据三角形内角和 ，可得 ，又 ，根据相似三角形判 定定理1，确立对应关系，即可判定 EMBED Equation.DSMT4 【总结】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和 进行求解． 例2．如图， 是平行四边形 的边 延长线上的一点， 交 于点 ．图中 有哪几对相似三角形？ 【难度】★ 【答案】 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ． 【解析】由 ，可得： ，根据相似三角形预备定理， 可得： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 进而可得： ，即这三个三角形两两相似． 【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性． 例3．如图， ，那么图中相似的三角形有哪几对？ 【难度】★ 【答案】 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． 【解析】根据 ，同时有 公共角必相等， 根据相似三角形判定定理1，可得 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ；同时由 ， 可得： ，进而 ，又 ，根据相似三角形判定定理1， 可得： ． 【总结】考查相似三角形判定定理1，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏． 例4．如图， 、 分别是 的边 、 上的点，且 ．求证： ． 【难度】★ 【解析】证明： ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 即 ． 【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论． 例5．如图， 在中， ， 于点 ，且 ，求 的值． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】 ，即 ， 又 ，可得 ． ． 又 ， ， ． ，设 ，则 ，代入可得： ． ． 【总结】考查基本模型的建立，直角三角形斜边上的高线分出的两个三角形与原三角形两两相似，称作“子母三角形”，是一种常用的数学模型． 例6．如图，