第3讲 三角形一边的平行线（二）-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第3讲 三角形一边的平行线（二） 【学习目标】 三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备． 【基础知识】 一、三角形一边的平行线判定定理及推论 1、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 2、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 如图，在 中，直线 与 、 所在直线交于点 和点 ，如果 那么 // ． 二：平行线分线段成比例定理 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线 // // ，直线 与直线 被直线 、 、 所截，那么 ． 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 【考点剖析】 考点一：三角形一边的平行线判定定理及推论 例1．在 中，点 、 分别在边 、 上，根据下列条件，试判断 与 是否平行． （1） ， ， ， ； （2） ， ， ， ； （3） ， ， ， ； （4） ， ． 【难度】★ 【答案】（1）平行；（2）平行；（3）不平行；（4）平行． 【解析】（1） ，可推知平行； ， ，可推知平行； ， ，不相等，可推知不平行； （4）根据线段大小和位置关系，得 ， ， ，可推知平行． 【总结】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用． 例2.如图， ，则 ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】由 ，根据三角形一边平行 线的判定定理，可知 ，根据三角形一边平行线 的性质定理和比例的合比性， 可得 ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用． 例3.如图， 中，点 、 分别在 和 的延长线上，且 ，则 ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】由 ，由比例合比性，可得 ， 根据三角形一边平行线的判定定理的推论，可知 ， 根据三角形一边平行线的性质定理，可得 ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用． 例4.如图， 中， 点在边 上， 点在边 上，下列命题中不正确的是（ ） （A）若 // ，则 （B）若 ，则 // （C）若 // ，则 （D）若 ，则 // 【难度】★ 【答案】D 【解析】A、B、C选项都可由三角形一边平行线性质定理及其判定定理可判定正确，D选 项不符合定理判定内容． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的内容． 例5.如图，点 、 在 的边 上，点 在边 上，且 // ， ． 求证： // ． 【难度】★ 【解析】证明： ， ， 则 ． 又 ， ， EMBED Equation.DSMT4 // ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先利用性质证明比例线段相等再进行判定应用． 例6.如图，四边形 中， 、 相交于点 ，若 ， ， ， ，求 的长． 【难度】★ 【答案】6． 【解析】 ， ， ． 代入可计算，得： ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用． 例7.点 、 分别在 的边 、 上，如果 ，能否得到 // ， 为什么？ 【难度】★★ 【答案】不能得到平行 【解析】在 上必能找到一点 使得 // ，同时在 上能找到一点 使得 ， 即等腰三角形存在，此时仍满足 ，但显然 不与 平行． 【总结】考查三角形一边平行线判定定理内容的内容把握． 例8.如图， 为 的中点， // ，联结 、 分别交 、 于点 和点 ． 求证： // ． 【难度】★★ 【解析】证明： EMBED Equation.DSMT4 // ， ． EMBED Equation.DSMT4 为 的中点， ． ， // ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用． 例9.如图， // ，且 ．求证： // ． 【难度】★★ 【解析】证明： // ， ． ， ， // ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定． 例10.如图， 、 是 的 边上的两点，满足 ．联结 ，过点 作 // ，交边 于点 ，联结 ．求证： // ． 【难度】★★