基础题中档题满分练（五）-2020-2021学年高一数学下学期期末考试基础中档题满分练（苏教版2019）

2021年高一下学期期末考试基础题中档题满分练（五） （时间：40分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题： 1．近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价区域范围内上下波动．政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况，在2021年1月份的某一天，市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均（单位：元/公斤）的频数分布表如下： 的分组 超市家数 （1）请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于元/公斤的超市比例和零售均价小于元/公斤的超市比例； （2）已知样本均价位于分组区间（单位：元/公斤）内的家超市中，有家小超市和家大超市，从该组中任选家超市进行市场零售均价调控约谈，问选出的家超市中至少有家大超市的概率是多少？ （3）求该市在当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到，且） 【答案】（1）；；（2）；（3）；元/公斤． 【分析】 （1）由频数分布表可得百分比. （2）归结为古典概型，列出所以基本事件和所求概率事件包含的基本事件即可； （3）按平均数、方差和标准差的计算公式计算即可. 【详解】 （1）根据各超市的猪肉零售均价的频数分布表，得所调查的家超市在当天的猪肉零 售均价不低于元/公斤的超市频率为；零售均价小于元/公斤的超市频率为. 用样本频率分布估计总体分布，得该市在当天的猪肉零售均价不低于元/公斤的 超市比例为，零售均价小于元/公斤的超市比例为． （2））设家小超市分别用小字母，，表示，大超市分别用大字母，表示，从家超市中任取家的所有结果分别为：，，，，，，，，，共有10种，其中至少有家大超市的结果分别为，，，，，，共有种，故所求的概率为． （3）依题意，得（元/公斤）． ， 则（元/公斤）． 故该市当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值分别为，（元/公斤）． 2．把参加某次铅球投掷的同学的成绩（单位：米）进行整理，分成以下6个小组：，，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图3所示是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7，规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格. （1）求这次铅球投掷成绩合格的人数； （2）若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a、b两位同学的成绩均为优秀，求a、b两位同学中至少有1人被选到的概率． 【答案】（1）36；（2）. 【分析】 （1）首先计算第6小组的频率，再根据频数为7，计算总人数，再根据合格标准计算合格人数；（2）首先将5人设为，再通过列举的方法，计算概率. 【详解】 （1）第6小组的频率为． 参加这次铅球投掷的总人数为． 根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为 ． （2）设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a、b、c、d、e，则选出2人的所有可能的情况为： ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种， 其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7种， a、b两位同学中至少有1人被选到的概率为 3．已知,， （1）求 与 的夹角 ； （2）求 与 的夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由已知得出，进而利用夹角公式即得；（2）分别求出和差向量的模及数量积，代入夹角公式即得． 【详解】 解：（1）, ∴ ， ∵θ∈[0，π]，∴. （2）∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ 4．化简：＋. 【答案】 【分析】 原式利用二倍角的余弦函数公式化简，提取公因式约分后，通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简即可得到结果． 【详解】 解：原式 5．在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）由正弦定理进行角化边的运算，可得到，应用余弦定理可得到角；（2）因为为的平分线，则，用两角和的正弦公式可计算，再由正弦定理可得的长. 【详解】 解： （1）由正弦定理及得，， 由余弦定理可得， 因为，所以． （2）由（1）得角， 又因为为的平分线，点在上，所以， 又因为，且，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，解得． 【点睛】 思路点睛：解三角形的问题，常用正弦定理将边化角或角化边，再用正余弦定理解三