基础题中档题满分练（四）-2020-2021学年高一数学下学期期末考试基础中档题满分练（苏教版2019）

2021年高一下学期期末考试基础题中档题满分练（四） （时间：40分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题： 1．已知复数，． （1）求； （2）若满足，求及． 【答案】（1）；（2），. 【分析】 （1）利用复数的除法可求得； （2）利用复数的四则运算化简可得复数，利用复数的模长公式可求得. 【详解】 （1）； （2） ， 所以，， 因此，. 2．为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了位居民的户月均用电量(单位：千瓦时)得到了频率分布直方图，如图： （1）试估计该地区居民户月均用电量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位)； （2）如果该市计划实施阶的阶梯电价，使用户在第一档(最低一档)，用户在第二档，用户在第三档(最高一档). （i）试估计第一档与第二档的临界值，第二档与第三档的临界值； （ii）市政府给出的阶梯电价标准是：第一档元/千瓦时，第二档元/千瓦时，第三档元/千瓦时，试估计该地区居民户月均电费的平均值.设用户的用电量是千瓦时，电费是，则. 【答案】（1）；（2）（i），；（ii）. 【分析】 （1）根据同一组中的数据用该组区间的中点值作代表进行求解即可； （2）（i）利用频率分布直方图中的频率分别列式求解即可； （ii）利用平均数的计算方法求解即可 【详解】 （1）设户月均用电量的平均值为， 则； （2）（i）因为前三组的频率为（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6，第四组的频率为0.025×10＝0.25，所以α在[70，80），则有0.025×（α﹣70）＝0.75﹣0.6，解得α＝76， 区间[40，80）的频率为0.6+0.25＝0.85，区间[80，90）的频率为0.1， 所以β＝90； （ii）设该地区居民户月均电费的平均值为，依题意得 . 3．起源于汉代的“踢键子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在高一年级进行了“踢键子”比赛，以学生每分钟踢毯子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢键子的分值均在分之间，从中随机抽取了100个样本学生踢键子的成绩进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在之间为“踢毽健将”，90分以上为“踢建达人”． (1)求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替)； (2)要在“踢毽健将”和“踢建达人”中分层抽样抽出6名同学在全级进行表演，试问“踢毽达人”张睿被抽取的概率是多少？ (3)以样本的频率值为概率，若高一(1)班有60个同学，试估计该班“踢毽健将”和“踢健达人”各有多少人． 【答案】(1)68； (2)； (3)“踢毽健将”人；“踢毽达人”人． 【分析】 (1)写出频率分布直方图中各组数据的频率，再求平均数； (2)由分层抽样求出抽出的6人中，“踢毽达人”应抽人数，再由古典概型求解； (3)由“踢毽健将”和“踢毽达人”的频率，估计对应的概率，依据古典概型求得. 【详解】 (1)由， 样本的平均值为68； (2)依频率分布直方图“踢毽健将”有10人，“踢毽达人”有5人． 需分层抽样抽6人，则要在“踢毽达人”中抽取2人， 所有的抽法共10种，包含张睿的抽法有4种， 故张睿同学被抽取的概率是． (3)由频率分布直方图知，“踢毽健将”和“踢毽达人”的频率分别是0.1和0.05， 由此估计“踢毽健将”和“踢毽达人”的概率分别是0.1和0.05， 所以高一(1)班“踢毽健将”有人，“踢毽达人”有人． 4．已知向量与的夹角，且，． （1）求，，在上的投影向量； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) , , 在上的投影向量为： ; (2) 【分析】 （1）由向量的数量积的定义，向量数量积的运算性质和投影向量的定义直接求解即可. （2）先求，再由向量的夹角的计算公式可得答案. 【详解】 （1），所以 ，所以 在上的投影向量为： （2） 设向量与夹角为，则 5．已知， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）利用和的正切公式展开即可求解； （Ⅱ）将原式化为关于的式子即可求解. 【详解】 （Ⅰ），解得， （Ⅱ）原式. 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由正弦定理的边角关系，结合已知三角恒等式可得，根据三角形的内角性质即可求角A. （2）由余弦定理及已知条件求，再应用三角形面积公式求△ABC的面积. 【详解】 （1）由正弦定理，得， ∴，即， ∴或，又且， ∴，即得.