基础题中档题满分练（七）-2020-2021学年高一数学下学期期末考试基础中档题满分练（苏教版2019）

2021年高一下学期期末考试基础题中档题满分练（七） （时间：40分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题： 1．已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值； （2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值． 【详解】 （1）由已知，得， ； （2）设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为. 2．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中给A组小鼠服用甲离子溶液，给B组小鼠服用乙离子溶液，给每组小鼠服用的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中的值； （2）估计甲离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （3）估计乙离子残留百分比的中位数．（保留2位有效数字） 【答案】（1）；；（2）；（3）6． 【分析】 （1）由的估计值为0.70，可得，求得值，再由整体频率为，即可求得； （2）根据平均数的定义，取组区间的中点值进行计算即可得解； （3）中位数在使得直方图面积为处取得，经计算即可得解. 【详解】 （1）由已知得，故． ． （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 ． （3）乙离子残留百分比的中位数的估计值为． 3．某控制器中有一个易损部件，现统计了30个该部件的使用寿命，结果如下（单位：小时）； 710 721 603 615 760 742 841 591 590 721 718 750 760 713 709 681 736 654 722 732 722 715 726 699 755 751 709 733 705 700 （1）估计该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率（一个月按30天计算）； （2）为了保证该控制器能稳定工作，将若干个同样的部件按下图连接在一起组成集成块，每一个部件是否能正常工作互不影响.对比和时，哪个能保证集成块使用寿命达到一个月及以上的概率超过0.8？ 【答案】（1）；（2） 【分析】 (1)一个月30×24=720(小时),样本中满足使用寿命在720小时及以上的部件数为15个,由此能求出所求概率的估计值; (2)要保证集成块使用寿命达到一个月及以上,即要保证集成块中至少有一个部件的使用寿命达到一个月及以上,利用列举法能求出n=3时满足要求. 【详解】 (1)一天24小时,一个月(小时), 样本中满足使用寿命在720小时及以上的部件数为15个, 所以该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率的估计值为; (2)要保证集成块使用寿命达到一个月及以上, 即要保证集成块中至少有一个部件的使用寿命达到一个月及以上, 记表示一个部件的使用寿命达到一个月及以上,表示一个部件的使用寿命不能达到一个月及以上. 当时,所有可能结果有4种:,,,, 满足要求的结果有3种,所以; 当时,所有可能结果有8种:,,,,,,,, 满足要求的结果有7种,所以; 综上所述,时满足要求. 【点睛】 本题考查概率的求法,考查古典概型､列举法等基础知识,难度不大. 4．化简下列各式： （1）； （2） 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】 （1）利用二倍角公式化简，再对讨论即可求解； （2）利用同角三角函数基本关系、诱导公式、二倍角公式化简即可求解. 【详解】 （1） 因为且，所以，且， 当时，，原式； 当时，，原式， 综上所述： 当时，原式 ； 当时，原式. （2） . 5．在中，角所对的边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）首先求出，然后由得到，然后结合平方关系可得答案； （2）首先求出，然后利用正弦定理求解即可. 【详解】 （1）因为，所以， 因为 所以，即，即 因为，所以可解得 （2）因为，， 所以 6．在等腰梯形中，为的中点，将与分别沿向上折起，使重合于点 （1）在折后的三棱锥中，证明； （2）若，且折后的三棱锥的表面积是，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）取的中点，连接、，可证平面，即可得； （2）由可知三棱锥为正四面体，根据表面积可得棱长，进而求得体积. 【详解】 （1）折后的三棱锥P一DCE如图所示.取线段的中点，