基础题中档题满分练（九）-2020-2021学年高一数学下学期期末考试基础中档题满分练（苏教版2019）

2021年高一下学期期末考试基础题中档题满分练（九） （时间：40分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题： 1．已知＝(1，－1)，＝(λ，1)，若与的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围. 【答案】 【分析】 由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】 由于与的夹角为钝角，则且与不共线， ，，，解得且， 因此，实数的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】 本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量与的夹角为，为锐角，为钝角. 2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）利用任意角的三角函数的定义求得，的值，即可求出，再根据二倍角公式求出的值； （2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】 解：（1）由题意，，则，． ， ； （2） ． 3．为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下. （1）求值； （2）估计该地学生跳绳次数的中位数和平均数. 【答案】（1）；（2）中位数122，平均数122.8. 【分析】 （1）根据频率分布直方图中面积之和为1建立等式求解即可； （2）根据频率分布直方图中位数、平均数公式计算. 【详解】 解：（1）由题意，， 解得. （2）设中位数为，则， 解得. 平均数为 . 【点睛】 谨记频率分布直方图的相关公式： (1)直方图中各小长方形的面积之和为1； (2)直方图中纵轴表示：频率/组距，故每组样本的频率为组距乘以频率/组距，即矩形的面积； (3)直方图中每组样本的频数为频率×总数. 2.频率分布直方图中数字特征的计算： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 4．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体、、、和划定、、、、五个等级，并分别赋分为分、分、分、分和分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（）班（共人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分分）频率分布直方图，地理成绩（满分分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史分，地理多分． （1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分； （2）若小明的地理成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值； （3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率． 【答案】（1）分；（2），，；（3）． 【分析】 （1）小明原式分所在分值区间，结合频率直方图计算出该分值区间的人数占比，结合已知赋分规则，即可确定小明历史成绩的最后得分. （2）由赋分规则计算出赋分为分、分的人数，结合茎叶图及小明原始分大概分值，即可知小明的原始成绩的可能值. （3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为、、、、，列举出五科中任选两科的所有可能组合，应用古典概型求概率的方法即可求概率. 【详解】 （1）∵此次考试历史成绩落在，内的频率依次为，，频率之和为，且小明的历史成绩为分，大于分，处于前， ∴小明历史成绩的最后得分为分． （2）名学生中，地理赋分为分有人，这六人的原始成绩分别为，，，，，；赋分为分有人，其中包含原始成绩为多分的共人，多分的有人，分别为，，，； ∵小明的地理成绩最后得分为分，且原始成绩为多分， ∴小明的原始成绩的可能值为，，． （3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为、、、、， ∴小明从这五科中任选两科的所有可能选法有，，，，，，，，，共种，而其中包括地理的有，，，共种， ∴小明选考科目包括地理的概率为：． 5．已知、、为的三个内角，且其对边分别为、、，若． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用正弦定理将化为，再利用三角函数恒等变换公式化简可求出角的值； （2）由余弦定理结合基本不等式可得，再利用三角形面积公式可求得结果 【详解】 解：（1）因为， 由正弦定理得，， 即， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以； （2）由余