基础题中档题满分练（八）-2020-2021学年高一数学下学期期末考试基础中档题满分练（苏教版2019）

2021年高一下学期期末考试基础题中档题满分练（八） （时间：40分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题： 1．某商场在“五一”促销活动中，为了了解消费额在5千元以下（含5千元）的顾客的消费分布情况，从这些顾客中随机抽取了100位顾客的消费数据（单位：千元），按(0,1)，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）消费在4千元以上为高消费，求高消费的人数； （2）现采用分层抽样的方法从(0,1)和两组顾客中抽取4人进行满意度调查，再从这4人中随机抽取2人作为幸运顾客，求所抽取的2位幸运顾客都来自组的概率. 【答案】（1）10；（2）． 【分析】 （1）由频率分布直方图得频率，然后可得人数； （2）由频率分布直方图可得两级顾客选取的人数，编号后用列举法写出所有基本事件，并得出所求概率事件包含的基本事件，计数后可得概率． 【详解】 （1）由频率分布直方图知高消费的频率为，人数为； （2）(0,1)和两组顾客人频率分别为，因此抽取的4人中有1人属于，编号为，有3人属于,编号为． 从这4人中任取2人的基本事件有共6个，其中二人都来自组的事件有共3个， 所求概率为． 2．已知点A（2，3），B（6，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点. （1）若⊥，求点P的坐标； （2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1）(3,0)或(5,0)；（2）. 【分析】 （1）根据题意设出点P(x,0)，利用坐标表示出、，根据0列方程求出x的值； （2）由是关于x的二次函数，求出最小值对应的、的值，再求与夹角的余弦值. 【详解】 根据题意，设点P(x,0)，又A(2,3)，B(6,1)，得(x-2,-3)，(x-6,-1)， （1）由⊥，即(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝0，解得x＝3或x＝5， ∴P的坐标为(3,0)或(5,0)； （2）由(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝(x-4)2-1， 当x＝4时，取得最小值-1，此时(2,-3)，(-2,-1)，||，||， ∴与夹角的余弦值为：cosθ. 3．“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动.”他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下： 步数 人数 5 13 12 （1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率； （2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为，属于“懈怠型”的人依次记为，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查. （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M发生的概率. 【答案】（1）；（2）（i），，，，，，，，，；（ⅱ） 【分析】 （1）根据统计表各区间段的人数和总人数，得到每日走路步数超过5000步的频率，利用频率估计出概率；（2）（i）根据分层抽样，得到“积极型”和“懈怠型”的人数，从而列出所有的可能结果；（ii）写出满足事件的情况，根据古典概型公式，得到答案. 【详解】 解：（1）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为， 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为. （2）（i）5人中“积极型”有人，这两人分别记为，. 5人中“懈怠型”有人，这三人分别记为，，. 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果： ，，，，， ，，，，. （ii）事件M“抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果： ，，，， 所以根据古典概型公式，得其概率为. 所以事件M发生的概率. 【点睛】 本题考查利用频率估计概率，分层抽样中各层数量的计算，求古典概型概率，属于简单题. 4．若，求的值 【答案】 【分析】 依题意可判断是钝角，将上式平方即可得到，再利用，即二倍角公式求出，即可得解； 【详解】 解：因为且，所以是钝角 由得 所以 所以， 所以 5．在中，角，，的对边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，（），且的面积为，求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3. 【分析】 （Ⅰ）利用诱导公式及二倍角公式求出，即可得解； （Ⅱ）利用余弦定理求出边，再利用面积公式求出，即可得解； 【详解】 解：（Ⅰ）因为， 所以， 即， 所以， 因为，则； （Ⅱ）在中，因为，，， 由余弦定理得， 即或（舍）， 因为， 所以点在延长线上，