第二章 第五节 幂函数与二次函数-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第五节 幂函数与二次函数 知识回顾 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 (2)常见的5种幂函数的图象 排列特点：第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”. 图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点． 三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大； (2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于y＝x的图象； (3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大. (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的3种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 课前检测 1.已知 是幂函数，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查幂函数的知识． 由题可得 ，，进而求出 ． 是幂函数． 可得 ，． ． ． 故选 A 2.幂函数 ，当 时为减函数，则实数 的值为(　　) A． 或 B． C． D． 【答案】C 【解析】 为幂函数， ，即 ，解得： 或 ． 当 时，， 在 上为减函数； 当 时，， 在 上为常数函数（舍去）， 使幂函数 为 上的减函数的实数 的值 ． 故选 C 3.幂函数，，的图象如图所示，以下结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 在内取同一值， 作直线，与各图象有交点． 则由“点低指数大”，知：， 故选：． 【备注】本题考查幂函数的图象的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用 4．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 答案　D 解析　函数f (x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧， ∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D. 5．(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________． 答案　(－，0) 解析　作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有 即解得－<m<0. 课中讲解 考点一.幂函数的图像与定义 例1.【2018年浙江衢州高一上学期期中考试数学试卷四校】在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】当时，函数，，在第一象限都是递增函数； 当，函数在第一象限都是递增函数，但图形成显凸，，在第一象限都是递减函数； 故选D． 【分析】对底数进行讨论，结合幂函数，对数的性质可得答案； 【备注】【点评】本题考查了对数函数、幂函数的图象和性质，属于基础题． 变式1.如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：若幂函数的图象经过的部分是，则可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 函数的图象过部分， 函数在第一象限内单调递减， ； 又时，， 函数的图象经过部分， 取， 即函数． 故选：． 【备注】根据幂函数的图象和性质，进行分析判定即可． 本题考查了幂函数的图象和性质，根据幂函数的