第四讲 直线与平面垂直-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第四讲 直线与平面垂直 【学习目标】 1．了解直线与平面垂直的定义。 2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直。 3．掌握线面垂直的性质定理，并能应用。 4．灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题。 【基础知识】 一、直线与直线所成的角 一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m． 二、直线与平面垂直及其判定定理 1．直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α⇔∀mα，l⊥m． 2．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 ⇒l⊥α 3．判定定理的理解 (1)定理中“平面内两条相交直线”是关键性条件，若没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线，也不能判定直线垂直于平面． (2)要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已知直线有交点，无关紧要． 4．线面垂直的判定方法： ①用定义：证l和α内任意一条直线垂直．②用定理：证l和α内“两条相交”直线都垂直，我们可把定理简化为：线线垂直⇒线面垂直．③利用平行线：若a⊥α，证l∥a即可知l⊥α． 三、直线与平面垂直的性质 1．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么两条直线平行 符号语言 ⇒l∥m 图形语言 文字语言 如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 符号语言 ⇒m⊥α 2．对性质定理的理解 (1)定理给出了判定两直线平行的另一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据． 四、直线与平面垂直的应用 1．直线与平面所成的角 (1)斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA． (2)斜足：斜线和平面的交点，图中点A． (3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO． (4)直线与平面所成的角： ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角． ②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (5)取值范围：0°≤θ≤90°． 3．常用规律：设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影． (1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点． (2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心． (3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心． 4．点、直线到平面的距离： (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． (2)直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离． 【考点剖析】 考点一：异面直线所成角 例1 如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点。 求EF和AB所成的角． 【解析】 如图所示，取BD的中点G，连结EG、FG． ∵E、F分别为BC、AD的中点， ∴EGeq \f(1,2)CD，GFeq \f(1,2)AB， ∴∠GFE或其补角就是异面直线EF与AB所成的角． ∵AB⊥CD， ∴EG⊥GF， ∴∠EGF＝90°． ∵AB＝CD，∴EG＝GF， ∴△EFG为等腰直角三角形． ∴∠GFE＝45°，即异面直线EF与AB所成的角为45°． 【答案】 45° 考点二：线面垂直的定义及判定定理的理解 例2 下列说法中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0　 B．1　　　　C．2　　 D．3 【解析】 由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直