第十一讲 直线与平面的夹角-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第十一讲 直线与平面的夹角 【学习目标】 1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性。 2．会求直线与平面的夹角。 【基础知识】 一、直线与平面的夹角 1．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°。  2．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0°。 3．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．  4．斜线和平面所成角的范围：(0°，90°)。 二、最小角定理 三、用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝，特别地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|．－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－ 【考点剖析】 考点一：公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用 例1 ∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角． 【解析】　方法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴AB＝AC＝a． 又∵BC＝a， ∴AB2＋AC2＝BC2． ∴△ABC为等腰直角三角形． 同理△BOC也为等腰直角三角形． 取BC中点为H，连接AH，OH， ∴AH＝a，AO＝a，a，OH＝ AH2＋OH2＝AO2． ∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH． 又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H， ∴AH⊥平面α． ∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角． 在Rt△AOH中，∴sin∠AOH＝．＝ ∴∠AOH＝45°． ∴OA与平面α所成的角为45°． 法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线， 作∠BOC的角平分线OH交BC于H． 又OB＝OC＝a，BC＝a，∴∠BOC＝90°． 故∠BOH＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2， 得cos∠AOH＝，＝ ∴OA与平面α所成的角为45°． 【答案】 45° 考点二：用定义法解决直线与平面的夹角问题 例2 如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． 【解析】　(1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC． 又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC⊂平面PAC， PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC． (2)取PC的中点E，连接DE． 因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC． 连接AE，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中． 因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°， 所以BC＝，，DE＝ 在直角三角形ABP中，AD＝a， 所以sin∠DAE＝．＝＝ 即AD与平面PAC夹角的正弦值为． 【答案】 (1)见解析 (2) 考点三：用向量求直线与平面所成的角 例3 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． 【解析】　建系如下图 所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0, ，a)，C1 取A1B1的中点M， 则M，＝，连接AM，MC1，有 a)．＝(0,0，＝(0，a,0)， ∴＝0，·＝0，· ∴，⊥，⊥ 即MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A， ∴MC1⊥平面ABB1A1 . ∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角． 由于，＝，＝ ∴，＋2a2＝＝0＋· |a，＝|＝ |a，＝|＝ ∴cos〈. ＝〉＝， ∴〈〉＝30°，， 即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 【答案】 30° 【真题演练】 1．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 【解析】 由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为．，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为 【答案】 D 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 【解析】 设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos