第十六讲 直线的方程-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第十六讲 直线的方程 【学习目标】 1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程。 2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系。 3．灵活选用恰当的方式求直线方程。 【基础知识】 一、直线的点斜式方程与斜截式方程 1．直线的点斜式方程 在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程． (1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0． (2)直线的点斜式方程： 若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程． 2．直线的斜截式方程 当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为y＝kx＋b．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程． 二、直线的两点式方程与截距式方程 1．直线的两点式方程 已知直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线l的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，代入点斜式，得直线的点斜式方程为y－y1＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x－x1)． 当y1≠y2，x1≠x2时，方程可以写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程． 2．直线的截距式方程 直线与x轴的交点为(a，0)，与y轴的交点为(0，b)(a≠0，b≠0)，则直线l的两点式方程是eq \f(y－0,b－0)＝eq \f(x－a,0－a)，可以整理成eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，它是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程． 三、直线的一般式方程 1．直线的一般式方程：直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)． 在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线的一般式方程． 2．从直线的一般式方程看斜率和截距 直线的一般式方程可表示任何一条直线，其中一般式与其他形式的互化是本节的重点，直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式；反之，一般式能否化为其他几种特殊形式，要看A、B、C是否为零． (1)当B＝0时，x＝－eq \f(C,A)表示与y轴平行(C≠0)或重合(C＝0)的直线． (2)当B≠0时，y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)表示斜率为－eq \f(A,B)，在y轴上的截距为－eq \f(C,B)的直线．(常用于求斜率) (3)当A＝0时，y＝－eq \f(C,B)表示与x轴平行(C≠0)或重合(C＝0)的直线． (4)当ABC≠0时，eq \f(x,\f(－C,A))＋eq \f(y,\f(－C,B))＝1表示在x轴、y轴上截距分别为－eq \f(C,A)和－eq \f(C,B)的直线．(常用于求截距) 【考点剖析】 考点一：求直线的点斜式方程 例1 写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． 【解析】　(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2． (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°． 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1． 所以直线的方程为y－4＝－(x－3)． (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1． (4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程． 【答案】 (1) y－5＝x－2 (2) y－4＝－(x－3) (3) y＝－1 (4) 直线没有点斜式方程 考点二：求直线的斜截式方程 例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3． (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5． (3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)． 【解析】　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3． (2)∵倾斜角是60°，∴斜率k＝tan 60°＝x＋5．，由斜截式可得方程y＝ (