第三讲 平面与平面平行-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第三讲 平面与平面平行 【学习目标】 1．掌握空间两个平面的位置关系，并会判断。 2．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题。 3．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。 【基础知识】 一、两个平面的位置关系 两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β＝l 无数个点(共线) 二、平面与平面平行的判定定理及性质定理 1．平面与平面平行的判定定理 (1)内容：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。(如图所示) (2)符号表示：⇒α∥β (3)作用：证明两平面平行． 2．平面与平面平行的性质定理 (1)内容：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。(如图所示) (2)符号表示：⇒α∥β (3)作用：证明两直线平行． (4)推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 【考点剖析】 考点一：平面与平面的位置关系 例1 α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是________． ①平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β； ②平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β； ③若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β； ④平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β． 【解析】　①、②都不能保证α、β无公共点，如图1所示； ③中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示； 只有④说明α、β一定无公共点． 【答案】 ④ 考点二：平面与平面平行的证明 例2 已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD． 求证：平面MNQ∥平面PBC． 【证明】　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP， ∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC， ∴NQ∥平面PBC． 又底面ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD， ∴MQ∥BC， ∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， ∴MQ∥平面PBC． 又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理， 得平面MNQ∥平面PBC． 考点三：平面与平面平行的性质 例3 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2．求△A′B′C′的面积． 【解析】　相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β分别相交于AB，A′B′． 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′． 同理相交直线BB′，CC′确定的平面和平行平面α，β分别相交于BC，B′C′， 从而BC∥B′C′． 同理易证AC∥A′C′． ∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′． 同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′． ∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O， ∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′． ∴eq \f(A′B′,AB)＝eq \f(OA′,OA)＝eq \f(2,3)． 而S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC＝eq \f(1,2)×2×1＝1． ∴eq \f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))2，∴S△A′B′C′＝eq \f(4,9)S△ABC＝eq \f(4,9)×1＝eq \f(4,9)． 【答案】 eq \f(4,9) 考点四：线面平行、面面平行的综合应用 例4 如图所示，AB、CD是夹在平行平面α、β之间的异面线段，且A、C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB、CD上，且eq \f(AE,EB)＝eq \f(CF,FD)． 求证：EF∥平面β． 【解析】　如图所示，连结BC并在BC上取一点G，使得eq \f(AE,EB)＝eq \f(CG,GB)， 则在△BAC中，EG∥AC，而AC⊂平面α，EG⊄平面α，∴EG∥α． 又α∥β，∴EG∥β． 同理可得GF∥BD，而BD⊂β，GF⊄β， ∴GF∥β． 又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β． 又EF⊂平面EGF，∴EF∥平面β． 【真题演练】 1．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法： ①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确的个数是(　　) A．0　 B．1　　　　C．2　　 D．3 【解析】