第十讲 不等式及其性质-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第十讲 不等式及其性质 【学习目标】 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系。 2．会用比较法比较两实数的大小。 3．掌握不等式的性质。 4．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明。 5．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异。 【基础知识】 一、实数大小比较 1．文字叙述： (1)如果a－b是正数，那么a>b； (2)如果a－b等于0，那么a＝b； (3)如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立． 2．符号表示 (1)a－b>0⇔a>b；(2)a－b＝0⇔a＝b；(3)a－b<0⇔a<b. 二、不等式的性质 1．不等式的性质 性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质4：如果a>b，b>c，那么a>c.(传递性) 性质5：a＞bb＜a. 推论1：如果a＋b>c，则a>c－b.(不等式的移项法则) 推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(同向可加性) 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)． 推论5：如果a>b>0，那么. > 2．注意事项： (1)推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． (2)推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． (3)推论3表明，n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 3．常用的结论 (1)a>b，ab>0⇒；< (2)b<0<a⇒；> (3)a>b>0，c>d>0⇒；> (4)若a>b>0，m>0，则(b－m>0)．>；<(b－m>0)；<；> 三、不等式的证明方法 1．作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小． 2．综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． 3．反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 4．分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． 【考点剖析】 考点一：数、式大小的比较 例1 (1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小； (2)已知a>0，试比较a与eq \f(1,a)的大小． 【解析】　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)． ∵a＞0，b＞0，且a≠b， ∴(a－b)2＞0，a＋b＞0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2. (2)a－eq \f(1,a)＝eq \f(a2－1,a)＝eq \f(a－1a＋1,a). ∵a>0，∴当a>1时，eq \f(a－1a＋1,a)>0，有a>eq \f(1,a)； 当a＝1时，eq \f(a－1a＋1,a)＝0，有a＝eq \f(1,a)； 当0<a<1时，eq \f(a－1a＋1,a)<0，有a<eq \f(1,a). 综上，当a>1时，a>eq \f(1,a)；当a＝1时，a＝eq \f(1,a)； 当0<a<1时，a<eq \f(1,a). 【答案】 (1) a3＋b3＞a2b＋ab2 (2) 当a>1时，a>eq \f(1,a)；当a＝1时，a＝eq \f(1,a)；当0<a<1时，a<eq \f(1,a). 考点二：利用不等式的性质求取值范围 例2 已知1<a<4,2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围． 【解析】　∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24 ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∵1<a<4， ∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2. 【答案】 8<2a＋3b<32，－7<a－b<2 考点三：不等式的证明 例3 已知c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b). 【证明】 ∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0， eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(由a＞b＞0⇒\f(1,a)＜\f(1,b)，,　　　　　 c＞0)) ⇒eq \f(c,a)＜eq \f(c,b) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒\f(c－a,a)＜\f(c－b,b)，,c－a＞0，,c－b＞0)) ⇒eq \f(a,c－a)