专题09 平面向量的数量积— 2020-2021学年高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大版）

专题09平面向量的数量积—2020-2021学年高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大版） 一、单选题 1．在菱形中，， ，若为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据向量的模长，两向量的夹角余弦求即可. 【详解】 由题有，，， ∴， 故选A. 2．已知为单位向量，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 把已知模平方求得，求得待求模的平方可得结论． 【详解】 解：为单位向量，且满足， 所以， 解得， 所以. 故选：C. 3．已知正三角形ABC的边长为3，且，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意，选择，作为基底，将与用基底表示，利用基底法即可求解. 【详解】 解：正三角形ABC的边长为3，且， ，，， ， ， . 故选：A. 4．若向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由向量垂直，结合向量数量积的运算律可得，即可求与夹角的余弦值. 【详解】 由题设知：，而，， ∴，故. 故选：D. 5．已知是边长为4的等边三角形，且为中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 选定基向量，再表示出即可得解. 【详解】 正中，，， 因为中点，则，， 则. 故选：B 6．在中，，，点是边的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由求解. 【详解】 在中，因为，，且点是边的中点， 所以， ， 故选：C 7．已知向量满足，且与的夹角是，则的值是（ ） A．7 B． C．19 D． 【答案】B 【分析】 根据模长性质先求，转化为向量数量积运算，即可求解. 【详解】 , . 故选：B 【点睛】 思路点睛：本题考查向量的模长及向量的数量积运算，求解向量的模长常用，即，考查学生的计算能力，属于基础题. 8．将一副三角板中的两个直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则（ ） A． B． C． D．192 【答案】B 【分析】 根据三角板的图形性质，结合锐角三角函数定义、平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量减法的几何意义进行求解即可. 【详解】 由题易知为等腰直角三角形，，因为，所以，，所以：，而， 因此有 故选：B. 二、填空题 9．已知，，且向量与的夹角为，则______. 【答案】 【分析】 根据向量数量积的运算律及性质化简即可运算求解. 【详解】 由题意，， 所以. 故答案为： 10．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为_____． 【答案】 【分析】 计算出的值，由此可计算得出在方向上的投影. 【详解】 向量与的夹角为，，，则， 可得在方向上的投影为. 故答案为：． 11．已知单位向量，的夹角为，若与垂直，则______． 【答案】 【分析】 根据平面向量数量积的定义，结合互相垂直两平面向量的性质、平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】 由单位向量，的夹角为得，又与垂直，所以， 得， 所以． 故答案为： 12．已知向量满足，，且向量在向量方向上的投影为，则向量与的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【分析】 由投影公式可化简得到，利用和平面向量数量积的运算律可构造方程求得，由向量夹角公式可求得结果. 【详解】 向量在向量方向上的投影为，，， 由得：， 解得：，. 故答案为：. 三、解答题 13．已知向量. （1）若，求向量与的夹角； （2）在矩形中，设为的中点，F为的中点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）首先求出向量的数量积，再由即可求解. （2）利用向量的加法、数乘运算以及向量的数量积即可求解. 【详解】 （1）由，则， ，则， 所以， 因为向量与的夹角在上，则， 即向量与的夹角为. （2） . 14．如图，M，N分别是的边上的点，且，交于点P． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用向量的线性运算可求的值，从而得到的值； （2）设，可根据平面向量基本定理求出，再以为基底向量可求的值. 【详解】 （1）因为，故，故， 所以，故. （2）设，连接， 故，整理得到， 同理， 因为不共线，由平面向量基本定理可得 ，解得 ， 所以， 故 . 【点睛】 思路点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或