专题05 平面向量的夹角与投影— 2020-2021学年高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大2019版）（解析版）

专题05平面向量的夹角与投影—2020-2021学年高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大2019版） 一、单选题 1．已知向量，则与的夹角大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 运用向量的数量积的坐标运算求得，可得选项. 【详解】 因为，，所以向量与的夹角是. 故选：D． 2．已知与均为单位向量，若，则与的夹角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】D 【分析】 由两向量垂直可得数量积为0，结合数量积的定义计算式和已知条件，即可求出两向量的夹角. 【详解】 解：因为，所以， 解得，所以， 故选:D. 3．设向量，，若，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据向量的数量积运算建立方程，解之可得选项． 【详解】 由向量的夹角公式得，解得. 故选：A． 4．已知，为单位向量，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据向量夹角公式即可求解. 【详解】 解：因为，为单位向量，且，， 所以， 又， 所以， 所以. 故选：C. 5．如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将向量用表示，求得模长及，从而利用投影公式求得向量在向量上的投影向量即可. 【详解】 由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a， 则， ，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故选：D 【点睛】 关键点点睛：表示出，计算得到，利用投影公式求解. 6．已知单位向量，满足，若向量，则，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题设易得，由已知向量的线性表达式，两边平方求，进而求得，即可求. 【详解】 由题意，得，又，为单位向量， ∴，又，即， ∴，又，故. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：利用向量数量积的运算律求及，再结合数量积定义求向量夹角的余弦值. 7．已知平面向量、、，若，，，则在方向上投影的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 建立平面直角坐标系，将各向量均转化为共起点O的向量，由知向量终点在圆上运动，过终点作向量所在直线的垂线，数形结合得到投影最小值. 【详解】 不妨设，，，由，可得， 又，故点C在以为圆心，为半径的圆上运动. 如图，由，不妨设在直线上， 过点C、M分别作直线OB的垂线，垂足为、， 则在方向上投影的最小值即为，即. 故选：C. 【点睛】 向量投影问题的处理通常有两个角度：一是利用数量积变形公式求解；二是利用投影的几何意义，作垂直辅助线，数形结合求解. 8．已知||＝8，为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影为( ) A．4 B．4 C．4 D．8＋ 【答案】B 【分析】 利用平面向量的投影定义计算而得. 【详解】 ∵||＝8，为单位向量，且，由平面向量的投影定义得， ∴在方向上的投影为4. 故选：B 二、填空题 9．若非零向量满足，向量与垂直，则与的夹角为__________． 【答案】 【分析】 设＝1，由垂直得数量积为0，再结合数量积定义可求得所求夹角． 【详解】 设，向量与垂直， 所以，， ，所以． 故答案为：． 10．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为_____． 【答案】 【分析】 计算出的值，由此可计算得出在方向上的投影. 【详解】 向量与的夹角为，，，则， 可得在方向上的投影为. 故答案为：． 11．若向量满足，则的夹角为___________. 【答案】 【分析】 根据题意，可得，代入夹角公式，结合的范围，即可求得答案. 【详解】 设的夹角为，因为，且， 所以 因为， 所以， 又，故. 故答案为： 三、解答题 12．已知向量与的夹角，且，． （1）求，，在上的投影向量； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) , , 在上的投影向量为： ; (2) 【分析】 （1）由向量的数量积的定义，向量数量积的运算性质和投影向量的定义直接求解即可. （2）先求，再由向量的夹角的计算公式可得答案. 【详解】 （1），所以 ，所以 在上的投影向量为： （2） 设向量与夹角为，则 13．已知，. （1）若向量与向量的夹角为，求及在方向上的投影； （2）若向量与向量垂直，求向量与的夹角. 【答案】（1）；-1；（2）. 【分析】 （1）根据平面向量数量积的运算律求出，再根据平面向量的几何意义求出在方向上的投影； （2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到，再根据夹角公式计算可得； 【详解】 解：（1）由已知得，∴； 在方向上的投影为 （2）由已知得，即∴，∴， ∴向量与的夹角为. 【点睛】 本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题. 原创精品资源学科网独家享有版