第4节　数列求和 课件（含希沃课件）-山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二下学期期末数学复习

第四节数列求和 数列求和的常用方法 (1)倒序相加法: 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个 数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的 (2)错位相减法: 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前 n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的 (3)裂项相消法: 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和 4)分组求和法: 个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分 组求和法,分别求和后再相加减 (5)并项求和法: 个数列的前n项和,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)fn)类型,可采 用两项合并求解 易误提醒 1.使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消 去的项,未被消去的项有前后对称的特点 2.在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解 必记结论:常见数列的求和公式: (1)12+22+32+…+n2=m(n+12n+1) (2)13+2+3+.+n3=n(n+1) 分组转化求和例1等差数列{an}中,a2=4,a4+a,=15. (1)求数列{an}的通项公式 (2)设b=2%-2+n,求b1十b2+b3+…+b的值 规律方法 分组转化法求和的两种常见类型 (1)若an=bncn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可用分组求和法求{an}的 前n项和 bn,n为奇数, (2)通项公式为an cn,n为偶数,的数列,其中数列{b},{cn}是等比数列 或等差数列,可采用分组求和法求和 裂项求和例2已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a23=8. (1)求数列{an}的通项公式 (2)设Sn为数列{a}的前n项和,bn=551,求数列{b的前n项和Tn 1 规律方法 裂项求和常用的几种变形 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项如: ① n+1-√n n(n+)k'n n+k );②an 7+1+ 2n-1)(2n+1)22n-12n+1 ④an (21-1(2nD)1x、 (2n 22n-12n+1 11 n(n+1)07+2)2m(n+)(n+1)(n+2)(2-1)(2+-1 n+1 n+212(n+1)-n11 ⑦ n(n+1)2nm(n+1)2n·2n(n+1)2 ⑧ (2n-1)(2n+1) 2n-12n+1 错位相减求和例3已知数列a}是首项为正数的等差数列,数列 1 的前n项和为 an'an+l 2n+1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(an+1)2an,求数列{bn}的前n项和Tn 规律方法 错位相减法求和时两个注意点 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; 2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”, 以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式 也可以用裂项求和的方法求和,设 (kn+b)a=[pn+m]a"[p(n+1)+mla+ Ipn+m-apn-ap-amja 得p-ap=k,m-ap-am=b k-,( 解得P=1-a )?×、6 ak C 例4已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2m2+n-3,n∈N,数列{bn}满足 an=4og2bn+3,n∈N (1)求an,bn;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn 演练冲关 1.数列1,3 816 (2n-1) 12 的前n项和Sn的值等于(A) A.n2+1-n B.2n2-n+1. C.n2+1 2 2 2 2.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足bn= logan,则数列 b04的前n项和S=n+1 演练冲关 3.若数列{an}的通项公式是an=(-1)(3n-2),则a1+a2+…+a1 15 4已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n2”,则Sn=(n-1)2+2 5.已知数列{an}的通项公式是an=23+(-1)(n2-ln3)+(-1)hln3,求其前n项和S 6.已知函数)=x的图象过点(42)令an=(m+1)+)yneN记数列a)的前n项和为S,则S20(C) A.2013-1B.2014-1C.2015-1D.2015+1 7 , 22-132-174 1 …+灬,1y21的值为(C) 4."+1 3n+1 3 1 31 1 B C 2(n+2) 42(+2) 42n+1n+2/D 2n+1