第3节　等比数列及其前n项和 课件（含希沃课件）-山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二下学期期末数学复习

第3节等比数列及其前n项和 等比数列的相关概念公式 an+l 定义如nq是常数且q≠0,n∈N)或an=q(q是常数且q≠0,n∈N+且n2) 通项公式an=a1q"(m≥2,n∈N,) 前项和公式s=“(=2~。(=1 n 1-q 1-q ≠1 等比中项设a,b为任意两个同号的实数,则a,b的等比中项G ab 易误提醒 1.在等比数列中易忽视每项与公比都不为0 2.在运用等比数列的前n项和公式时,必须对q=1与q≠1分类讨论,防止因 忽略q=1这一特殊情形导致解题失误 等比数列的性质 设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和 1.若m+n=p+q,则aa,,其中m,n,p,q∈N+ 特别地,若2s=p+r,则aa=a,其中p,s,r∈N 2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+m,…仍是等比数列, 公比为(k,m∈N+) 3.若数列{an},伪b是两个项数相同的等比数列,则数列{ban}, Span gbr和 (其 b, 中b,p,q是非零常数),也是等比数列 4. Smn+n=Sn+ q Sm=Smnt q S 5.当q≠-1,或q=-1且k为奇数时,Sk,S2kSk,S3k-S2k,…是等比数列 6.若a1·a2…an=Tn,则T Tn 12 …成等比数列 7.若数列{a的项数为2,则s、:若项数为2n+1,则a q 易误提醒 在性质中,当q=-1且k为偶数时,S;,S2k-Sk,S3-S2k,…不是等比数列 在运用等比数及其前n项和的性质时,要注意字母间的上标、下标的对应关系 等比数列的基本运算 1.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+as=21,则a3+as+a=(B) A.21 B.42 C.63 D.84 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=7a1,则数列{an}的公比q的值为(C) B.3 C2或-3 D2或3 3.等比数列x3x+36x+6,…的第四项等于(A) A.—24 C.12D.24 4已知等比数列{a的前n项和为S且a1+a3=2,a2+a;=4,则an=(D) B.4-1 C.2n1D.2n-1 规律方法 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通 过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解 (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1 a1 a1an 时,{an}的前n项和Sn=na1;当q1时,{an}的前n项和S q 等比数列的判定与证明 例1已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列:(2)求数列{bn}的通项公式 规律方法 等比数列的判定方法 (1)定义法:若n=q(q为非零常数,n∈N),则{an}是等比数列 (2)等比中项法:若数列{an}中,an0且a+1=anan+2(n∈N),则数列{an}是等比数列 (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=cq"(c,q均是不为0的常数,n∈N),则 an}是等比数列 练习:已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2 (1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式 等比数列的性质及应用 例2()若函数几(x)=1g24在等比数列{an}中,a2s48=8,则f(a)+(a2)+…+a)=(A) B 8 C.-7D.-10 (2)设等比数列{an}中,前n项和为Sn已知S3=8,56=7,则a7+a8+m=(A 7 8 B 8 8 8 规律方法 等比数列常见性质的应用 等比数列的性质可以分为三类 ①通项公式的变形 ②等比中项的变形 ③前项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体 的变化特征即可找出解决问题的突破口 练习:已知等比数列{an}的公比q>0,且asa7=4a,a2=1,则a1=(B 1 2 2 C.2D.2 分类讨论思想在等比数列中的应用 例3设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N (1)证明:an+2=3an;(2)求Sn [思路点拨] 1)利用数列递推 关系式,结合a和 S的关系得出结 论: (2)利用分类讨论 思想写出数列通 项,结合等比数 列再进行分类求 和 [跟踪练习已知数列{an}的前n项和Sn=a2-1(a≠0),则{an(C) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 [方法点评]分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有