第2节　等差数列及其前n项和 课件（含希沃课件）-山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二下学期期末数学复习

第2节等差数列及其前n项和 等差数列的有关概念 1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常 数,那么这个数列就叫作等差数列.符号表示为an+-a=d(m∈N+,d为常数) +b 2.等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=2,其中A叫作a,b 的等差中项 3.若{an},{b}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列 易误提醒 1.要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项 起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列 2.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别 数列{an}是等差数列台>S=Am,+Bn(A,B为常数) 等差数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1+(n=1)d n(n-1 (2)前n项和公式:S=_a1+2d (a1 tan)n 若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列 必记结论 1.巧用等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(m-m)d,(m,m∈N+) (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n,(,L,m,n∈N+),则ak+a=am+an 3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…,(k,m∈N是公差为md的等差数列 (4)数列Sm,S2mSm,S3m-S2m,…也是等差数列 2.前n项和公式Sn=n2+a-,h视为关于n的一元二次函数,开口方向由公差d的正负确定 s,四a1a)中a1+a视为一个整体,常与等差数列性质结合利用整体代换?思想解题 规律方法 等差数列的基本运算的两个解题策略 (1)等差数列的通项公式及前m项和公式共涉及五个量a1,an,n,Sn,知其中三个就能求 另外两个,体现了用方程组解决问题的思想 2)数列的通项公式和前m项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a和等差数列 的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法 1.(2015高考全国卷设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则Ss=(A) B.7 D.11 1 2.等差数列{an中,a1=2015,am=n,an=m(m≠n),则数列{an的公差d为_2015 3.已知等差数列{an}中,a2=-2,公差d=-2,那么数列{an}的前5项和S 20 等差数列的判断与证明 例1已知数列{an满(an+1-1an-1)=3(an-an+),a=2,令b,=1 (1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式 规律方法 等差数列的四种判定方法 1)定义法:对于n22的任意自然数,验证an-an-1为同一常数 (2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N)成立 (3)通项公式法:验证an=pn+q (4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bm 等差数列的性质及最值 例2(1设等差数列{an}的前n项和为Sn,若as+a14=10,则S8=(C A.20 B.60 C.90D.100 (2)已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数 项之和为25,则这个数列的项数为(A) A.10 B.20 C.30D.40 (3)已知S是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2014,2014-2008=6,则S208= 6054 (3)已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn是它的前n项的和,S10=S2 ①求Sn;②这个数列前多少项的和最大?并求出这个最大值. 规律方法 求等差数列前n项和的最值的方法 (1)运用配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数形结合的思想,从而使问题得解 (2)通项公式法:求使an≥0a△0)成立时最大的n值即可.一般地,等差数列{an}中,若a1>0,且Sn=S4(pq),则 ①若p十q为偶数,则当nP时,S最大 ②若p+q为奇数,则当n=P+1或n-2+;1时,S,最大 整体思想在等差数列中的应用 例3已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S1=1,s=4,则的值为(A) B 方法点评]利用整体思想解数学问题,就是从全局着眼,由整体入手,把一些彼此 独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法.有不少等差数列题,其首项 公差无法确定或计算烦琐,对这类问题,若从整体考虑,往往可寻得简捷的解题途 径 演练冲关 1.已知数列{an中,a3,am=2-1 1 n≥2,n∈N),数列{n}满足bn (∈N) n 求证:数列{n}是等差数列 2.(2015·深圳调研)等差数列{an}中,已知as>0,a4+ay<0,则{an}的前n项和Sn的 最大值为(C B. S6 C. S5 D. S 跟踪练习 3.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,