知识梳理01 第一章 三角形的证明-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习（北师大版，广东专用）

2020~2021学年度八年级数学下学期期末专项复习（北师大版） 知识梳理01 第一章三角形的证明 知识梳理： 一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论 1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。 （三线合一） 推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结 果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命 题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定 理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 练习 一．选择题（共8小题） 1．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．等边三角形三个角相等 D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和 【解析】A、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，是假命题，符合题意； B、逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：三个角相等的三角形为等边三角形，是真命题，不符合题意； D、逆命题为：如果一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意． 故选：A． 2．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于 　　 A．腰上的高 B．腰上的中线 C．底角的平分线 D．顶角的平分线 【解析】如图： 中， ， 为 上任意一点， ， ，垂足为 、 ， 于 ， ， ； ， ； ， ； 又 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ． 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高， 故选： ． 3．等腰三角形两边的长分别为 和 ，则这个三角形的周长是 　　 A． B． C． 或 D．在 或 之间 【解析】当腰长是 时，因为 ，不符合三角形的三边关系，应排除； 当腰长是 时，因为 ，符合三角形三边关系，此时周长是 ． 故选： ． 4． 中， ，点 与顶点 在直线 同侧，且 ．则 与 的大小关系为 　　 A． B． C． D． 与 大小关系无法确定 【解析】 ， 点 在 的垂直平分线上， ， 点 在 的垂直平分线上，则 ， 在垂直平分线点 一侧，则 ， 在垂直平分线点 一侧，则 ， 与 大小关系无法确定． 故选： ． 5．等边三角形的三条高把这个三角形分成 　　 个直角三角形． A．8 B．10 C．11 D．12 【解析】如图： 直角三角形有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ， 、 ，共12个． 故选： ． 6．下列说法错误的是 　　 A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍 【解析】 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故 错误； 、三角形两边的垂直平分线的交点到