第三讲 集合之间的关系（一）-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第三讲：集合之间的关系（一） 【学习目标】 1．理解子集、真子集、集合相等、空集的概念； 2．能用符号和Venn图表达集合间的关系； 3．掌握列举有限集的所有子集的方法． 【基础知识】 一、子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 (或) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 二、子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 三、空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【考点剖析】 考点一：简单集合间关系的判断 例1．设集合，，则，的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 集合中的元素，满足，， 集合中的元素，满足，， ∵表示所有的奇数，表示所有的整数； ∴ 故选：A. 变式训练1：集合，，则集合与的关系是（ ） A． B． C． D．且 【答案】D 【详解】 因为，且，，所以且． 故选：D. 变式训练2：若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，时，取得所有奇数， ，时，取得整数 因此． 故选：B． 变式训练3：设集合，则集合与集合的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，， 所以． 故选：D． 考点二：集合之间的关系 例2：下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（ ） A．1 B．3 C．4 D．6 答案：C 解析：①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为；④错误，表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系． 变式训练1：以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】 根据元素与集合间的关系可判定、正确，不正确，根据集合与集合之间的关系可判定、、是空集正确 故选：D 变式训练2：下列写法：（1）；（2）；（3）；（4），其中错误写法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由集合与集合的关系可知，（1）错误；空集是任何集合的子集，（2）正确；由集合的无序性以及集合相等的定义可知，（3）正确；空集是不含任何元素的集合，（4）错误； 故选：B 变式训练3：已知集合，①；②；③；④；⑤.则上列式子表示正确的有几个（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 ，故④正确， ，故①错误；，故⑤正确；，故②错误；，故③正确. 所以正确的有3个. 故选：C. 考点三：确定集合的子集、真子集 例2．设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 解：由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0， 解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1,4}． 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}； 由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}； 由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}． 因此集合A的子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}． 真子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}． 变式训练1：集合的子集有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：A 解析：集合{1,2}的子集有，{1}，{2}，{1,2}，共4个． 变式训练2：写出集合的所有子集，并指出其中的真子集的个数． 解：集合{a，b，c}的子集有，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个． 考点四：子集、真子集的个数 例4．集合非空子集的个数是（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】 ∵集合A＝{a，b，c，d}中有4个元素， ∴非空子集的个数为：24﹣1＝15， 故选：C. 变式训练1：已知集合，则的子集有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个