第二讲 集合的表示-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第二讲：集合的表示 【学习目标】 1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用; 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合． 【基础知识】 一、集合的表示 （1）列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法 一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法． （3）Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 【考点剖析】 考点一：用列举法表示集合 例1．用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于的非负偶数组成的集合； (2)小于的质数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)方程组的解集. 解：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10， 所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的质数有2,3,5,7， 所以B＝{2,3,5,7}． (3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3， 所以C＝{－1,3}． (4)方程组的解为 所以方程组的解集D＝{(3,1)}． 变式训练1：用列举法表示下列集合： (1)方程的所有实数解组成的集合； (2)直线与轴的交点所组成的集合； (3)由所有正整数构成的集合． 解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}． (2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}． (3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}． 考点二：用描述法表示集合 文字描述；式子描述 例2．用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合. 解：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}． (4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}． 变式训练1：用描述法表示下列集合： (1)比大又比小的实数组成的集合； (2)不等式的所有解； (3)到两坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1)可以表示成{x∈R|1<x<10}． (2)可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}． (3)可以表示成{(x，y)|x±y＝0}． 考点三：集合的表示综合 例3．下列命题中正确的（ ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 【答案】C 【详解】 ①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 故选：C. 变式训练1：方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，两式相加可得，所以， 将代入可得， 所以， 所以方程组的解集是， 故选：D 变式训练2：下列集合恰有个元素的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 不是集合； ,,, 所以选C. 变式训练3：已知集合，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【详解】 因为，则或或， 当时，，，符合题意； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，或（舍） 当时，，符合题意； 综上所述：或， 故答案为：或 考点四：元素个数 相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性） 例4．设集合，则中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】 时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 变式训练1：已知集合，，则集合中元素的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】 因为集合，， 所以集合， 故选：C 变式训练2：设集合，则中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 因为，所以当时，由可得：； 当时，由可得：； 当时，由可得：， 当，时，由