第八讲 容斥定理-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第八讲：容斥定理 【学习目标】 1．通过集合容斥定理公式，解决实际生活中的问题. 【基础知识】 一、容斥定理公式 （1） （2） 【考点剖析】 考点一：容斥定理的应用（一） 例1．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为（ ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】C 【详解】 由题意可知两者之间的关系如图， 则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数. 故选：C. 变式训练1：某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】 因为某校高一（9）班共有49名同学， 参加学校举办的书法竞赛中有24名同学， 参加数学竞赛中有25名， 且两项都参赛的有12名同学， 所以在两项比赛中，该班参加过比赛的同学的人数共有名学生， 所以该班没有参加过比赛的同学的人数为名. 故选：C. 变式训练2：集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ） A．28 B．23 C．18 D．16 【答案】C 【详解】 设参加田赛的学生组成集合A，则， 参加径赛的学生组成集合B，则， 由题意得， 所以， 所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有. 故选：C. 变式训练3：调查了100携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（ ） A．最多人数是55 B．最少人数是55 C．最少人数是25 D．最多人数是80 【答案】B 【详解】 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B. 又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则，以上两种药都带的人数为y. 根据题意列出图，如下图所示： 由图可知，. ∴，∴. ∵，∴，故最少人数是55. 故选：B. 考点二：容斥定理应用（二） 例2．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为_______． 【答案】184. 【详解】 将已知条件用Venn图表示出来如下图所示， 所以听讲座的人数为. 故答案为：184. 变式训练1：高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【详解】 把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合， 选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人， 单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人， 单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人， 以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多8人， 所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人. 故选：C. 变式训练2：甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点.则四人中去过磁器口古镇的人数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 设甲、乙、丙、丁四名游客去过的景点组成的集分别为， 所以有景点构成的全集为， 记集合的元素的个数依次为， 则，， ， 则,， 所以每个景点都有2人去， 故选：B 变式训练3：学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加