第15讲 函数的基本性质（1）（函数的奇偶性）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第15讲 函数的基本性质（1）（函数的奇偶性） 【基础知识】 一、函数奇偶性的证明（判断） 证明（判断）函数奇偶性的一般步骤 验证函数 的定义域是否关于原点对称？否！函数是非奇非偶函数．是！继续考查 成立与否？ 成立， 是奇函数； ， 是偶函数； 都成立， 是即奇又偶函数； 都不成立， 是非奇非偶函数． 二、函数奇偶性的应用 关于函数奇偶性的几个重要结论 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）． （2）函数 是奇函数 曲线 关于原点对称；函数 是偶函数 曲线 关于 轴对称． （3）若 的定义域关于原点对称，则 是偶函数， 是奇函数． （4）若函数 的定义域关于原点对称，则 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 其中， 为偶函数， 为奇函数． （5） 、 是定义域为 、 的奇函数，那么在 上， 是奇函数， 是偶函数．类似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝偶”． （6） 既是奇函数又是偶函数 （定义域关于原点对称）． （7）若奇函数 在 处有定义，则 ． （8）对于多项式函数 若 是奇函数 偶次项的系数全为零； 若 是偶函数 奇次项的系数全为零． 【考点剖析】 考点一：函数奇偶性的证明（判断） 例7．判断下列函数是否具有奇偶性： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【难度】★ 【答案】（1）∵ ，即 ，∴函数 是奇函数； （2）∵ ，即 ，∴函数 是偶函数； （3）∵ ∴ ，∴函数 既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数． （4）∵ ，∴函数 为既奇又偶函数 例8．判断下列函数的奇偶性： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【难度】★★ 【答案】（1）函数的定义域 关于原点对称． ，即 ，∴函数 是奇函数． 函数 ．∵函数 的定义域 关于原点不对称，∴函数 是非奇非偶函数． （2）函数的定义域是 关于原点对称， ， ，∴函数 是奇函数． （3）函数的定义域 关于原点对称． ① 当 时， ，则 ； ② 当 时， ，则 ． 综上， ，∴函数 是奇函数． 函数 是奇函数． 例9．若函数 ，为非奇非偶函数，则有（ ） （A）对于任意的 ，都有 ； （B）存在 ，使 ； （C）存在 ，使 ； （D）对于任意的 ，都有 。 【难度】★★ 【答案】C 例10．条件甲：函数 满足 ，条件乙：函数 是奇函数，则甲是乙的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条 【难度】★★ 【答案】C 例11．下列说法正确的有( ) A．既是奇函数又是偶函数的函数是 ； B．定义域关于原点对称的函数一定具备奇偶性； C．定义在 上的奇函数一定过原点； D．对于给定的 ， ，则 为偶函数； 【难度】★★ 【答案】C 例12．已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 = ， = ． 【难度】★★ 【答案】 是偶函数，一次项系数为 ，则 。定义域 关于原点对称，故 。 考点二：利用函数奇偶性求解函数表达式 数学的本质是研究“数”和“形”．奇偶函数在“数”的意义下的内涵是“ 与 ”的相互转化，这是奇偶性的个性． 例1．如果函数 是奇函数，则 ． 【难度】★★ 【答案】 例2．若函数 （常数 ）是偶函数，且它的值域为 ，则该函数的解析式 ． 【难度】★★ 【答案】 例3．已知 的定义域均为 ， 是偶函数， 是奇函数，且 ，则 ， ． 【难度】★★ 【答案】 ， 例4．函数 ，其中 、 、 为不全是零的常数，若 ，则 = 【难度】★★ 【答案】-8 例5．函数y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图)，则不等式f(x)＜f(-x)+2x的解集为 【难度】★★★ 【答案】 例6．设 （ 为实常数）．（1）当 时，证明： 不是奇函数；（2）设 是奇函数，求 与 的值； 【难度】★★ 【答案】（1）举出反例即可． ， ， ， 所以 ， 不是奇函数； （2） 是奇函数时， ，即 对定义域内任意实数 成立． 化简整理得 ，这是关于 的恒等式， 所以， 所以 或 ． 经检验都符合题意． 考点三：抽象函数奇偶性问题 抽象函数奇偶性的证明问题，往往需要对已知等式中的变量进行赋值，创造新的条件． 例1．既奇又偶函数的函数的个数为（） A．一个 B．二个 C．无穷多 D．不存在 【难度】★★ 【答案】C 例2．设函数 是定义域为 的奇函数， ， ，求 的值． 【难度】★★ 【答案】由 是奇函数得 ，在 中，令 可得