第7讲 分式、绝对值不等式的求解-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第7讲 分式、绝对值不等式的求解 【基础知识】 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰． 1、分式不等式的解法 （1）进行同解变形： ； 分式不等式转化为整式不等式来解． ； （2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意分母不为零． 2、含有绝对值不等式的解法 （1）掌握可化为 ， 的绝对值不等式的解法（其中 是关于x的一次多项式）. （2） 的解集为 ； 的解集为 . （3）两边平方是解形如 的绝对值不等式的常用方法. （4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. （6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式. 3、含参不等式的求解，参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，其次是字母对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等式求解往往用穿根法，无理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难度大的不等式题目，还可以灵活运用函数、方程和不等式的相互转化来解题. 【考点剖析】 考点一：分式不等式 例1 例2． 例3. 例4．不等式 的解集是（ ） Ａ、 　　Ｂ、 　　Ｃ、 　　Ｄ、 【难度】★【答案】C 例5．解下列分式不等式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【难度】★★ 【解析】（1） （2）原不等式可化为 ，此不等式与 同解， 由 得 或 ，所以原不等式的解集是 ． （3）原不等式可化为 ，即 ．由于 的判别式 ，故 的值恒大于 ，于是原不等式与 的解集相同．解 得 或 ．所以，原不等式的解集为 ． （4）原不等式等价于 ∴原不等式的解为： ． 例6．若关于 的不等式 ； （1）当 时，求它的解集； （2）若 ，求不等式的解集． 【难度】★★【答案】（1） ； （2） 时， ； 时， ； 时， 例7．已知关于 的不等式 的解集是 ； （1）当 时，求集合 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1） （2） 【解析】（1）略（2）∵,则5不满足不等式， 若，则，解得 ，因此时，， 又∵，同上解得. ∴综上可知实数a的取值范围是 . 例8．解关于x的不等式 ,其中|a|≠1． 【难度】★★ 【答案】 ； ． 考点二：绝对值不等式 例1 例2． 例3． 例4．已知不等式 的解集为 ，则 的值是 【难度】★【答案】13 例5．解下列绝对值不等式： （2） （3） （4） 【难度】★★ 【答案】（1） （2） （3） （4） 例6．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________． 【难度】★★【答案】(5,7) 【解析】由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即eq \f(－4＋b,3)＜x＜eq \f(4＋b,3)，∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤\f(－4＋b,3)＜1,3＜\f(4＋b,3)≤4))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4≤b＜7，,5＜b≤8，))∴5＜b＜7. 例7． 考点三：不等式与成立问题综合 例1．【例12】下列各对不等式中同解的是（ ） A． 与   B． 与 C． 与           D． 与 【难度】★【答案】B 例2．（1）不等式 的解集为一切实数，求实数 的取值范围； （2）不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围； （3）不等式 的解集非空，求实数 的取值范围． 【难度】★★【答案】（1） （2） （3） 【解析】 含有多个绝对值的式子，仍然要去绝对值，找出分界点，在数轴上表示出来，把实数分段讨论．（2