第三章-§4-§4.2 换底公式-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

4.2　换底公式 [目标导学] 1.了解换底公式.(易混点) 2.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题.(难点) [教材梳理] 对数的换底公式 logbN＝(a，b>0，a，b≠1；N>0). [要点探究] ►知识点　换底公式 [探究1]　观察换底公式，思考下列问题： (1)换底公式中底数a是特定数还是任意数？ 提示　是大于0，且不等于1的任意数. (2)根据换底公式，式子能化为一个对数式吗？ 提示　能.＝log3 8. [探究2]　你能根据对数的定义推导出换底公式吗？ 提示　令logb N＝x，则bx＝N，两边取以a为底的对数，得xloga b＝loga N， 所以x＝，所以logb N＝. [探究3]　你能推导出换底公式常见的两种变形公式吗？ 提示　(1)变形公式一：loga b·logb a＝1，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. (2)变形公式二：logNnMm＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 题型一　利用换底公式化简求值 　计算： (1)log16 27×log81 32； (2)(log3 2＋log9 2)(log4 3＋log8 3). 【自主解答】　(1)log16 27×log81 32＝× ＝×＝×＝. (2)(log3 2＋log9 2)(log4 3＋log8 3) ＝ ＝ ＝log3 2×log2 3＝××＝. ●方法技巧 (1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底. (2)换底公式的派生公式：loga b＝loga c·logc b； loganbm＝loga b. 1.求下列各式的值： (1)log3 ×log7 ×log5 ； (2)log9 32×log64 27＋log9 2×log4； (3)(log2 3＋log8 9)(log3 4＋log9 8＋log3 2). 解析　(1)原式＝·· ＝·· ＝·· ＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16. (2)原式＝·＋·＝·＋·＝＋＝. (3)原式＝(log2 3＋log2332)(log322＋log32 23＋log3 2) ＝ ＝log2 3·log3 2 ＝log3 2·log2 3＝. 答案　(1)－16　(2)　(3) 题型二　用已知对数表示其他对数 　已知log18 9＝a，18b＝5，求log36 45(用a，b表示). 【自主解答】　因为18b＝5，所以b＝log18 5. 所以log36 45＝＝ ＝＝ ＝＝＝. ●方法技巧 应用换底公式应注意的两个方面 (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用. (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式. 2.(改变问法)若例2条件不变，如何求log9 15(用a，b表示)? 解析　因为18b＝5，所以log18 5＝b. 所以log9 15＝＝＝ ＝＝＝＝ ＝. 答案　log9 15＝ 3.(变换条件)若将例2条件“log18 9＝a，18b＝5”改为“log9 18＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？ 解析　因为9b＝5，所以log9 5＝b. 所以log36 45＝＝＝， ＝，又由于log9 18＝a，则log9(2×9)＝a， 即log9 2＋log9 9＝a，所以log9 2＋1＝a， 所以log9 4＋1＝a，可得log9 4＝2(a－1)， 故log36 45＝＝. 答案　log36 45＝ 题型三　对数的综合应用 　在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底). (1)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的2倍时，求火箭的最大速度； (2)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s？(结果精确到个位，数据：e≈2.718；e4≈54.598，ln 3≈1.099) 【自主解答】　(1)因为v＝ln＝2 000·ln， 所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s). 答：当燃料质量M为火箭质量m的2倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s. (2)因为＝e－1， 所以＝e－1＝e4－1≈54.598－1≈54. 答：当燃料质量M为火箭质量m的54倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s. ●方法技巧 解决对数应用题的四个步骤 (1)审题：理解题意，弄清关键字词及字母表示的含义. (2)建模：根据已知条件，列出关系式. (3)解模：运用数学知识，解决此问题. (4)结论：还