第三章-§3-第二课时 指数函数的图像和性质的应用（习题课）-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§3　指数函数 [目标导学] 1.掌握指数函数的概念、图像和性质.(重点) 2.弄清指数函数图像随底数a变化的规律，了解指数增长的意义. 3.会运用指数函数的图像和性质解决有关问题.(难点) [教材梳理] 1.指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中自变量是x，定义域是R. 2.指数函数的图像和性质 0<a<1 a>1 图像 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 在R上是减函数 在R上是增函数 [要点探究] ►知识点一　指数函数的概念 观察如图所示内容，回答下列问题： [探究1]　指数函数中的底数a可以小于等于0或等于1吗？ 提示　指数函数中规定a>0，且a≠1的原因： (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义. (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义. (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. [探究2]　指数函数的解析式具有哪些特征？ 提示　指数函数的解析式具有的三个特征 (1)底数a>0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x. (2)指数位置是自变量x，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. ►知识点二　指数函数的图像和性质 观察图形，回答下列问题： [探究]　观察两个指数函数的图像，试说出a的变化对指数函数的图像有什么影响？指数函数值随自变量又有怎样的变化？ 提示　(1)指数函数值的变化规律 (2)指数函数在同一坐标系中图像的变化与底数大小的关系 ①前提：在同一坐标系中，四个函数的图像如图所示，且图像与直线x＝1自上而下的相交点依次是(1，a1)，(1，a2)，(1，a3)，(1，a4). ②关系： a.在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小. b.在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小. c.指数函数的图像不论在y轴左侧还是y轴右侧，底数均按逆时针方向变大. ③实质：指数函数的底数即直线x＝1与图像交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小. 第一课时　指数函数的概念及图像和性质 题型一　指数函数的概念 　(1)①下列函数y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝πx；④y＝xx.其中指数函数的个数是 A.0　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 (2)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________. 【自主解答】　(1)函数y＝2×3x，y＝3x＋1，y＝xx均不符合指数函数解析式的特征，不是指数函数，而y＝πx符合指数函数的定义，是指数函数. (2)由题意a2－3a＋3＝1，即a2－3a＋2＝0. 解得a＝1或a＝2，而a＝1不符合指数函数的定义，故a＝2. 【答案】　(1)B　(2)2 ●方法技巧 1.判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征. (2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，a.a>0且a≠1；b.ax的系数为1；c.指数位置自变量x的系数为1.只要有一个特征不具备，就不是指数函数. 2.已知某函数是指数函数求参数值的步骤 (1)列：根据底数大于0且不等于1，ax的系数是1且指数位置自变量x的系数是1，列出方程(组)或不等式(组). (2)解：解所列方程(组)或不等式(组)，求出参数的值. 1.若函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则 A.a＝1或a＝3 B.a＝1 C.a＝3 D.a>0且a≠1 解析　由指数函数的定义及特征，可得： 解得a＝3. 答案　C 题型二　与指数函数有关的定义域与值域问题 　(1)函数y＝ 的定义域为________. (2)求下列函数的定义域和值域： ①y＝1－3x.②y＝3.③y＝. 【自主解答】　(1)要使函数y＝ 有意义，需－27≥0， 即≥27，解得x≤－3，故函数的定义域为(－∞，－3]. 【答案】　(－∞，－3] (2)①由于3x>0，故－3x<0，所以1－3x<1，故函数y＝1－3x的定义域为R，值域为(－∞，1). ②令t＝，则t≠0，故函数y＝3t≠1，所以函数y＝3的定义域为{x|x≠2，x∈R}，值域为{y|y>0，且y≠1}. ③令t＝，由于1－x≥0，故x≤1，t≥0，则0<≤1，即0<y≤1， 故函数y＝ 的定义域为{x|x≤1}，值域为{y|0<y≤1}. ●方法技巧 指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同. (2)值域：①换元，t＝f(x). ②求t＝f(x)的定义域为x∈D. ③求t＝