第二章-§5 简单的幂函数-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§5　简单的幂函数 [目标导学] 1.了解幂函数的概念，通过常见的简单幂函数的图像，总结出幂函数的图像与性质.(重点) 2.了解函数的奇偶性的含义，理解奇、偶函数的图像性质. 3.会判断和证明函数的奇偶性，了解奇偶性的简单应用.(重点、难点) [教材梳理] 1.幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图像与性质 由幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3的图像，可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图像都过点(1，1)； (3)当α>0时，幂函数图像都过点(0，0)与(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增； (4)当α<0时，幂函数的图像都不过点(0，0)，在(0，＋∞)上单调递减. 3.函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 定义 条件 对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 结论 函数f(x)叫作偶函数 函数f(x)叫作奇函数 图像特征 图像关于y轴对称 图像关于原点对称 [要点探究] ►知识点一　幂函数的概念 [探究]　观察如图所示内容： 判定一个函数是否是幂函数应依据哪些特征？ 提示　幂函数解析式的结构特征：①指数为常数.②底数是自变量.③幂xα的系数为1. ►知识点二　幂函数的图像及性质 [探究]　观察图形，回答下列问题： (1)观察上述图像.在第一象限，它们有何特点？ 提示　幂函数y＝xα在第一象限内的图像特征： ①指数大于1，在第一象限为抛物线型(下凸). ②指数等于1，在第一象限为上升的射线(去掉端点). ③指数大于0小于1，在第一象限为抛物线型(上凸). ④指数等于0，在第一象限为水平的射线(去掉端点). ⑤指数小于0，在第一象限为双曲线型. 五个幂函数在第一象限内的图像大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α>0(α≠1)时的图像是抛物线型；α>1时的图像是竖直抛物线型；0<α<1时的图像是横卧抛物线型；α<0时的图像是双曲线型. (2)这些图像有何对称性？奇偶性如何？ 提示　五个幂函数的奇偶性 幂函数y＝x，y＝x3，y＝x－1为奇函数；幂函数y＝x2为偶函数；幂函数y＝x为非奇非偶函数. ►知识点三　偶函数 [探究1]　观察下面函数的图像，根据图像探究下面的问题： (1)分析3个函数的定义域，从图像的对称角度考虑它们有什么共性？ 提示　函数f(x)＝x2的图像是定义域为全体实数的抛物线；函数f(x)＝的图像是定义域为非零实数的两条曲线；函数f(x)＝|x|的图像是定义域为全体实数的折线.各函数之间的共性为图像都关于y轴对称. (2)对于函数y＝x2，分析x与－x所对应的函数值关系，说明函数的图像为何关于y轴对称？ 提示　任取x∈R，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，而点(x，f(x))与点(－x，f(x))关于y轴对称，所以函数y＝x2的图像关于y轴对称. [探究2]　根据偶函数的概念探究下面的问题： (1)对于函数f(x)，若在定义域内有f(－1)＝f(1)，能否说明函数f(x)是偶函数？ 提示　不能.必须是在定义域内任意的x都有f(－x)＝f(x)成立，才能说明函数f(x)是偶函数. (2)若对定义域内任意的x都有f(－x)－f(x)＝0，则函数f(x)是__________(判奇偶性)；若对定义域内任意的x都有＝1(f(x)≠0)，则函数f(x)是__________(判奇偶性). 答案　偶函数　偶函数 ►知识点四　奇函数 [探究1]　根据奇函数的概念探究下面的问题： (1)根据函数奇偶性的定义，对奇函数f(x)的定义域有何要求？ 提示　因为在函数奇偶性的定义中，对任意的一个x都有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，所以－x也属于定义域，因此奇函数的定义域必须关于原点对称. (2)若对定义域内任意的x都有f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是________(判奇偶性)；若对定义域内任意的x都有＝－1(f(x)≠0)，则函数f(x)是________(判奇偶性). 答案　奇函数　奇函数 [探究2]　根据奇偶函数图像的特征回答下面的问题： (1)奇函数f(x)在[a，b]上是减函数，那么f(x)在[－b，－a]上的单调性如何？ 提示　减函数. (2)偶函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么f(x)在[－b，－a]上的单调性如何？ 提示　减函数 (3)对于偶函数f(x)，定义域内任意取值a，f(a)＝f(|a|)一定成立吗？ 提示　当a≥0时，显然成立.当a<0时，f(|a|)＝f(－a)＝f(a)也成立，故一定成立. 题型一　幂函数的概念 　(1)下列函数：①y＝x；②y＝；③y＝