第二章-§2-§2.3 映射-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

2.3　映射 [目标导学] 1.了解映射的概念、表示方法，了解原像与像的概念.(重点) 2.了解一一映射的概念，会判断对应关系是否为一一映射. 3.理解映射与函数的关系，会用映射刻画函数概念.(重点、难点) [教材梳理] 1.映射的有关概念 (1)两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B. (2)A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y. 2.一一映射 一一映射是一种特殊的映射，它满足： (1)A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应； (2)A中的不同元素的像也不同； (3)B中的每一个元素都有原像. 3.映射与函数 (1)设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数. (2)在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域. [要点探究] ►知识点　映射 [探究1]　观察下面的对应，它们有何共同特点？ 提示　它们的共同特点是：对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应. [探究2]　下面的对应有何特点？它们是否构成从集合A到集合B的映射？ 提示　它的特点是对于集合A中的任意一个元素，在B中都有两个元素与之对应，它们不能构成从集合A到集合B的映射. 题型一　映射、一一映射的判断 　已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}.判断下列对应是否是集合A到集合B的映射，是否是一一映射，并说明理由. (1)f：x→y＝x； (2)f：x→y＝(x－2)2； (3)f：x→y＝(x－1)2. 【自主解答】　(1)因为0≤x≤3，所以0≤x≤1，所以对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：A→B是集合A到集合B的映射. 对于集合B中的每一个元素y，由x＝3y及0≤y≤1，有0≤3y≤3，0≤x≤3.即集合B中的每一个元素在集合A中都有原像，且这样的原像只有一个，所以对应f：A→B是一一映射. (2)因为0≤x≤3，所以－2≤x－2≤1，所以0≤(x－2)2≤4，所以集合A中的某些元素，如x＝0，在集合B中没有像.因此对应f：A→B不是映射，更不是一一映射. (3)因为0≤x≤3，所以－1≤x－1≤2，0≤(x－1)2≤1，所以集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像.所以对应f：A→B是映射. 对于集合A中的元素x＝0和x＝2，都对应于集合B中的同一个元素，所以不是一一映射. ●方法技巧 (1)映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应. (2)一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射. 1.下列从集合A到集合B的对应f是映射的是 解析　A中，2对应两个元素不正确，B中，2，4无对应元素，C中1对应两个元素，故A、B、C均不正确. 答案　D 2.下列集合A到集合B的对应中是一一映射的个数为 ①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x. ②A＝R＋，B＝R＋，f：x→y＝. ③A＝N＋，B＝{0，1)，f：除以2所得的余数. ④A＝{－4，－1，1，4)，B＝{－2，－1，1，2}，f：x→y＝±. ⑤A＝{平面内边长不同的等边三角形}，B＝{平面内半径不同的圆}，f：作等边三角形的内切圆. A.3　　　　 B.4　　　　 C.5　　　　 D.2 解析　①是映射，不是一一映射.因为集合B中有些元素(正整数)没有原像；②是映射，是一一映射.不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数；③是映射，不是一一映射.因为集合A中有不同元素对应集合B中的同一个元素；④不是映射.因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两个元素(2和－2)；⑤是映射，是一一映射.因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是某一个等边三角形的内切圆.等边三角形边长不同，圆的半径也不同. 答案　D 题型二　像与原像的求解 　已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1，4x＋3y－1)， (1)求A中元素(1，2)的像； (2)求B中元素(1，2)的原像. 【自主解答】　(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0，4x＋3y－1＝9，故A中元素(1，2)的像为(0，9). (2)令B中元素(1，2)的原像为(x，y). 则得 故B中元素(1，2)的原像是. ●方法技巧 (1)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像.对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像.