第一章-§3-§3.2 全集与补集-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

3.2　全集与补集 [目标导学] 1.了解全集的含义及其符号表示.(重点) 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.(重点、难点) 3.熟练掌握集合的交、并、补的运算.(重点) [教材梳理] 1.全集 (1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集. (2)记法：全集通常记作U. 2.补集 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 3.补集的性质 ①∁UU＝∅，∁U∅＝U；②∁U(∁UA)＝A；③A∪(∁UA)＝U；④A∩(∁UA)＝∅. [要点探究] ►知识点　全集、补集的概念 [探究1]　根据方程(x－3)(x2－2)＝0在不同范围内的解集，探究下面的问题： (1)该方程在有理数集内的解集为________；在实数集内的解集为________. 提示　方程在有理数集内的解集为{3}，实数集内的解集为{3，，－}. 答案　{3}　{3，，－} (2)在有理数集范围内或在实数集范围内方程的解集称为什么？ 提示　有理数集、实数集是所研究问题的所有元素组成的集合，即全集. [探究2]　若A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，8}，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，回答下列问题： (1)集合A，B，U有何关系？ 提示　A⊆U，B⊆U，A∪B＝U. (2)B中的元素与U和A有何关系？如何表示A与B的关系？ 提示　B中的元素都属于集合U，它是由U中不属于A的元素构成的，B＝∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. [探究3]　根据全集与补集的含义，探究以下问题： (1)借助Venn图，你能分析集合A与集合∁UA之间有什么关系吗？ 提示　A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U. (2)∁AC与∁BC相等吗？ 提示　不一定.若A＝B，则∁AC＝∁BC，否则不相等. [探究4]　根据补集的性质∁U(∁UA)＝A，如何求集合A? 提示　可以先求∁UA，然后再求∁UA的补集即集合A. 题型一　补集的简单运算 　(1)已知全集为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则∁RA＝________. (2)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________. 【自主解答】　(1)在数轴上画出集合A，由数轴得∁RA＝{x|1≤x<5}. (2)A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， 所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}. 又∁UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}. 【答案】　(1){x|1≤x<5}　(2){2，3，5，7} ●方法技巧 补集的求解步骤及方法 (1)步骤：①确定全集，在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集. (2)方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解. 1.设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则∁UA＝______. 解析　由数轴表示集合A，如图. 所以∁UA＝{x|x≤2或x>5}. 答案　{x|x≤2或x>5} 题型二　并集、交集、补集的综合应用 　(1)(2018·天津)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝ A.{x|0<x≤1}　　　　　　　 B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2} (2)已知集合A＝{x|1≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}，全集为实数集R. ①求A∪B，(∁RA)∩B； ②如果A⊆∁RC，求a的取值范围. 【自主解答】　(1)因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}， 因为A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}.故选B. (2)①因为A＝{x|1≤x<7}，B＝{x|2<x<10}， 所以A∪B＝{x|1≤x<10}，(∁RA)∩B＝{x|x<1，或x≥7}∩{x|2<x<10}＝{x|7≤x<10}； ②由题意知∁RC＝{x|x≥a}，又A⊆∁RC，故a≤1. 【答案】　(1)B　(2)①{x|1≤x<10}　{x|7≤x<10}　②a≤1 ●方法技巧 1.求解与不等式有关集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方法)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到. 2.求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，然后再运算其他部分，如求(∁UA)∩B时，可先求出∁UA，再求交集. 2.(1)(改变问法)例2(2)中的条件不变，求(∁