专题1.8判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优30题）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】 专题1.8判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优30题） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题） 1．（2020秋•泗阳县期末）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取最大值时，求方程mx2﹣2x+1＝0的根． 【分析】（1）由关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，分两种情况：①m＝0时，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，为一元二次方程，由判别式△≥0，解不等式即可求得答案； （2）求出m的值，解方程即可得出答案． 【解析】（1）①m＝0时，方程为﹣2x+1＝0，有实数根， ②m≠0时，△＝4﹣4m≥0， 得m≤1． 综上：m的取值范围是m≤1． （2）∵m≤1， ∴m的最大值为1， 则方程为x2﹣2x+1＝0， ∴x1＝x2＝1． 2．（2020秋•常州期末）已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0． （1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根． ①求m、n满足的关系式； ②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是　5　． 【分析】（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，然后解关于n的方程即可； （2）①利用判别式的意义得到△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，从而得到m与n的关系； ②利用勾股定理得到OP，则点P在以O点为圆心，为半径的圆上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值． 【解析】（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0， 解得n＝±2， 即n的值为±2； （2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0， 整理得m2+n2＝5； ②∵OH＝|m|，PH＝|n|， ∴OP， 即点P在以O点为圆心，为半径的圆上， ∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小， ∵原点到点（3，4）的距离为5， ∴点P到点（3，4）的距离最小值是5． 故答案为5． 3．（2020秋•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根． 【分析】（1）根据根的判别式可得4+4k＞0，解不等式可求k的取值； （2）根据k＞﹣1，且k是最小整数，那么可知k＝0，再把k＝0代入原方程，解关于x的一元二次方程即可． 【解析】（1）∵方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴△＝4﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＞0， 解得k＞﹣1； （2）∵k＞﹣1，且k是最小整数， ∴k＝0， 把k＝0代入原方程，可得x2+2x＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣2． 4．（2020秋•盐城期末）已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0． （1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根． （2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝m2﹣2m+1，配方得△＝（m﹣1）2，再根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论． （2）利用判别式的定义得到△＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，解m的方程，再利用一元二次方程的定义确定m＝2． 【解析】（1）①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意； ②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0． ∵△＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0， ∴无论m为任何实数，方程总有实根． （2）由题意得，△＝（m﹣1）2＝1， 解得m1＝0，m2＝2， 而m≠0， ∴m＝2． 5．（2020秋•江都区月考）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根． （1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长； （2）将x＝1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可