专题1.6勾股定理与弦图问题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.6勾股定理与弦图问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020秋•重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（　　） A．25 B．19 C．13 D．169 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解． 【解析】由条件可得：， 解之得：． 所以（a+b）2＝25， 故选：A． 2．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（　　） A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误， ∵（x+y）2＝49， ∴2xy＝24，故D错误， ∴（x﹣y）2＝1，故A错误， ∴x2﹣y2＝7，故C正确； 故选：C． 3．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（　　） A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形的面积． 【解析】根据题意得： 小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2）， 故选：A． 4．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．5 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解析】设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4， ∴20﹣2ab＝4， 解得：ab＝8， 故选：B． 5．（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理． 【解析】根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD． 故选：B． 6．（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（　　） A．45 B．36 C．25 D．18 【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝216，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长． 【解析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b， 由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： 225＝4ab+9， 所以2ab＝216， 根据勾股定理，得a2+b2＝152， 所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441， 因为a+b＞0， 所以a+b＝21， 所以21+15＝36． 所以一个直角三角形的周长是36． 故选：B． 7．（2020秋•碑林区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+