专题1.4勾股定理与最短路径问题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.4勾股定理与最短路径问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020秋•禅城区期末）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（　　） A．9 B．13 C．14 D．25 【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程． 【解析】展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5． 根据两点之间线段最短， 知最短路程是矩形的对角线的长，即13， 故选：B． 2．（2020秋•太原期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　） A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半， 作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm， 延长BG，过A'作A'D⊥BG于D， ∵AE＝A'E＝DG＝4cm， ∴BD＝16cm， Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D12cm， ∴则该圆柱底面周长为24cm． 故选：D． 3．（2020秋•金牛区校级月考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（　　） A．5 B． C． D．4 【分析】先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求出结果． 【解析】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长． ∵AB＝π4，CB＝3， ∴AC5， 故选：A． 4．（2020秋•太原期中）今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型，如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A．20πcm B．40πcm C．10cm D．20cm 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点， ∵AB＝10，BC20＝10， ∴装饰带的长度＝2AC＝220（cm）， 故选：D． 5．（2020秋•峄城区期中）已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（　　） A．cm B．5cm C．cm D．4.5cm 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解析】根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况： （1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1： AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25； （2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2： AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29； （3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3： AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37； 综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm， 故选：B． 6．（2020秋•市南区校级期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm 【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【解析】将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图， 则AA′15（cm