专题10 《立体几何初步》-期末挑重点之2020-2021学年下学期高一数学（苏教版2019）

专题10 立体几何初步 考点一、空间几何体结构： 例1、（2020·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ） A．20° B．40° C．50° D．90° 【答案】B 【分析】 画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角. 【详解】 画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.. 由于，所以， 由于， 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题. 考点二、空间几何体三视图和直观图： 例2、（2020·全国高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2 【答案】C 【分析】 根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】 根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形 根据立体图形可得： 根据勾股定理可得： 是边长为的等边三角形 根据三角形面积公式可得： 该几何体的表面积是：. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 考点三、空间几何体的表面积与体积： 例3、（2020·海南高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________ 【答案】 【分析】 利用计算即可. 【详解】 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点 所以 故答案为： 【点睛】 在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些. 考点四、点、线、面的位置关系： 例4、（2020·浙江高考真题）如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB； （II）求DF与面DBC所成角的正弦值． 【答案】（I）证明见解析；（II） 【分析】 （I）作交于，连接，由题意可知平面，即有，根据勾股定理可证得，又，可得，，即得平面，即证得； （II）由，所以与平面所成角即为与平面所成角，作于，连接，即可知即为所求角，再解三角形即可求出与平面所成角的正弦值． 【详解】 （Ⅰ）作交于，连接． ∵平面平面，而平面平面，平面， ∴平面，而平面，即有． ∵， ∴． 在中，，即有，∴． 由棱台的定义可知，，所以，，而， ∴平面，而平面，∴． （Ⅱ）因为，所以与平面所成角即为与平面所成角． 作于，连接，由（1）可知，平面， 因为所以平面平面，而平面平面， 平面，∴平面． 即在平面内的射影为，即为所求角． 在中，设，则，， ∴． 故与平面所成角的正弦值为． 【点睛】 本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题． 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是（ ） A．l与垂直 B．l与无公共点 C．l与至少有一个公共点 D．在内，l与平行，l与相交都有可能 【答案】D 【分析】 按直线与平面的位置关系的三种情况分别讨论即可得解. 【详解】 因平面垂直于平面，令，当时满足条件，从而选项A，B都不正确； 过直线a作平面，与平面，平面都不重合，直线l在内与a平行时满足条件，此时，即C选项不正确； 在平面内作一直线b与直线a相交，直线l与b平行时满足条件，此时l与相交，选项D正确. 故选：D 2．已知A，B，C表示三个不同的点，l表示直线，表示平面，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D．不共线重合 【答案】C 【分析】 根据点、线、面的位置关系一一判断即可. 【详解】 对于A，，则直