专题06 《解三角形》-期末挑重点之2020-2021学年下学期高一数学（苏教版2019）

专题06 解三角形 考点一、余弦定理： 例1、（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【分析】 （I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小； （II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】 （I）由结合正弦定理可得： △ABC为锐角三角形，故. （II）结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【点睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 考点二、正弦定理： 例2、（2020·海南高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【分析】 解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】 解法一： 由可得：， 不妨设， 则：，即. 选择条件①的解析： 据此可得：，，此时. 选择条件②的解析： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 选择条件③的解析： 可得，， 与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵, ∴, ， ∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,; 若选③,与条件矛盾. 【点睛】 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 考点三、解三角形的实际应用： 例3、（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ）和的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ； 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, . 【分析】 选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果； 选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】 选择条件①（Ⅰ） （Ⅱ） 由正弦定理得： 选择条件②（Ⅰ） 由正弦定理得： （Ⅱ） 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】 用余弦定理列出关于的方程，解方程可得． 【详解】 由已知，即，解得． 故选：D． 2．在中，角的对边分别为，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由余弦定理的角化边公式化简得出，再由得出. 【详解】 结合余弦定理得 即 即，即 因为三角形中，两边之和大于第三边，所以 即，是等腰三角形，结合，得到． 故选：D． 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键在于利用余弦定理的角化边公式得出，进而得出. 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则外接圆面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知结合可得，，即，可得直角三角形外接圆的半径为，根据圆的面积公式和不等式知识可求得结果. 【详解】 ，所以，所以， 此时，， 因为，， 所以外接圆的半径为， 所以外接圆的面积为， 当且仅当时，等号成立. 外接圆面积的最小值为. 故选：A 【点睛】 关键点点睛：由已知结合推出和为直角三角形是解题关键. 4．的三边上的高分别为，若，则最大角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由三角形高之比可得三角形边长之比，由余弦定理即可得结果. 【详解】