专题01 《平面向量》知识点-期末挑重点之2020-2021学年下学期高一数学（苏教版2019）

专题01 平面向量 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么 提示：向量可以平移. 2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥， 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有)； ④三点共线共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作. 二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理 定理 设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使. （1）定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成. （3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交分解． 四、实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： （1）模：； （2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，， 注意：. 五、平面向量的数量积 1.两个向量的夹角：对于非零向量，，作，，则把称为向量，的夹角. 当时，，同向；当时，，反向；当时，，垂直. 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积是0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量. 3.向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0. 4.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： （1）； （2）当、同向时，，特别地，； 是、同向的充要分条件； 当、反向时，，是、反向的充要分条件； 当为锐角时，，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件； 当为钝角时，，且、不反向；是为钝角的必要不充分条件. （3）非零向量，夹角的计算公式：；④. 六、向量的运算 1.几何运算 （1）向量加法 运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则. 运算形式：若，，则向量叫做与的和，即； 注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法 运算法则：三角形法则. 运算形式：若，，则，即由减向量的终点指向被减向量的终点. 注：减向量与被减向量的起点相同. 2.坐标运算：设，，则 （1）向量的加减法运算：，. （2）实数与向量的积：. （3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. （4）平面向量数量积：. （5）向量的模：. （6）两点间的距离：若，，则. 七、向量的运算律 1.交换律：，，； 2.结合律：，，； 3.分配律：，，. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)； （2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么 八、向量平行(共线)的充要条件 . 九、向量垂直的充要条件 . 特别地. 十、向量中一些常用的结论 1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； 2.模的性质：. （1）右边等号成立条件：同向或中有； （2）左边等号成立条件：反向或中有； （3）当不共线. 3.三角形重心公式 在中，若，，，则其重心的坐标为. 4.三角形“三心”的向量表示 （1）为△的重心，特别地为△的重心. （2）为△的垂心. （3）为△的内心；向量所在直线过△的内心. 5. 向量中三终点共线存在实数，使得且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 $ 专题01 平面向量 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有 又有 的量，注意 和 的区别.向量常用 来表示. 注意：不能说向量就是 ，为什么 提示：向量可以平移. 2.